Dada a função f, definida por f(x)=|x|x para todo x in R^*, calcule lim x 0^+ f(x) e lim x 0^- f(x). O limite lim x 0 f(x) existe? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=dfrac|x|x
definida para todo xinR^*, e pede as duas situações de limite em zero (pela direita e pela esquerda) e se o limite bilateral em zero existe. Para resolver, vamos usar a definição de valor absoluto e a ideia de limites laterais.

Passo 2

Analisando o limite pela direita ( xto0^+):
Se x>0, então |x|=x e
f(x)=|x|x=xx=1
Como para todo x suficientemente próximo de zero pela direita f(x)=1, temos
limxto0^+f(x)=1

Passo 3

Analisando o limite pela esquerda ( xto0^-):
Se x<0, então |x|=-x e
f(x)=|x|x=-xx=-1
Como para todo x suficientemente próximo de zero pela esquerda f(x)=-1, temos
limxto0^-f(x)=-1

Passo 4

Para que o limite limxto0f(x) exista, os limites laterais teriam de ser iguais. Aqui obtivemos
limxto0^+f(x)=1 e limxto0^-f(x)=-1,
que são diferentes. Logo o limite bilateral não existe.

Resposta

limxto0^+f(x)=1
limxto0^-f(x)=-1
O limite limxto0f(x) não existe, pois os limites laterais são diferentes.

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