Esboce a região R delimitada pelas curvas e em seguida calcule o volume dos sólidos de revolução obtidos quando giramos a região R entre y=x^2, x=1, x=2 e a parte da reta y=0 com x >= 1 em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar a região R limitada por y=x^2, x=1, x=2 e a reta y=0 (eixo x), e em seguida calcular o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x. O conteúdo aqui é o cálculo de volume por integração de corpos de revolução, usando o método dos discos.

Passo 2

Esbocemos a região R: para x variando de 1 a 2, a curva y=x^2 cresce de 1 a 4, e o limite inferior é a reta y=0. Logo,
R = (x,y)mid 1<= x<=2,;0<= y<= x^2
No plano xy, é a região sob a parábola y=x^2, acima do eixo x, entre x=1 e x=2.

Passo 3

Ao girar R em torno do eixo x, cada fatia vertical em x gera um disco de raio y=x^2. O volume de um disco de espessura dx é
dV = pil(raior)^2,dx = pi,(x^2)^2,dx = pi,x^4,dx
Assim,
V = integral1^2 pi,x^4 ,dx

Passo 4

Vamos calcular a integral:
V = pi integral1^2 x^4,dx = pi [x^55]1^2 = pil(2^55-1^55r) = 31pi5

Resposta

V = 31pi5

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