Dada a função
definida por
para todo
.
Mostre que existe
tal que
;
Mostre que existe
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
definida no intervalo
. A missão aqui é mostrar que existe um número
entre 2 e 5 tal que
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função é contínua em um intervalo, ela assume todos os valores entre os valores que toma nas extremidades desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função nas extremidades do intervalo, ou seja, quando
e
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, observamos que
e
. Nosso objetivo é encontrar um
onde
. Vemos que 1 está entre 6 e -6.
Passo 4
Como a função
é um polinômio, ela é contínua em todo o seu domínio, incluindo o intervalo
. O Teorema do Valor Intermediário garante que, se a função é contínua nesse intervalo e 1 está entre
e
, então existe pelo menos um número
em
tal que
.
Resposta
Existe pelo menos um número
dentro do intervalo
que satisfaz
.