Dada a função f definida por f(x)=4+3 x-x^2 para todo x in[2,5 mid.
Mostre que existe c in(2,5) tal que f(c)=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x) = 4 + 3x - x^2 definida no intervalo [2,5]. A missão aqui é mostrar que existe um número c entre 2 e 5 tal que f(c) = 1 . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que basicamente diz que se uma função é contínua em um intervalo, ela assume todos os valores entre os valores que toma nas extremidades desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função nas extremidades do intervalo, ou seja, quando x = 2 e x = 5 .
Para x = 2 :
f(2) = 4 + 3(2) - (2)^2 = 4 + 6 - 4 = 6
Para x = 5 :
f(5) = 4 + 3(5) - (5)^2 = 4 + 15 - 25 = -6

Passo 3

Agora, observamos que f(2) = 6 e f(5) = -6 . Nosso objetivo é encontrar um c onde f(c) = 1 . Vemos que 1 está entre 6 e -6.

Passo 4

Como a função f(x) é um polinômio, ela é contínua em todo o seu domínio, incluindo o intervalo [2,5]. O Teorema do Valor Intermediário garante que, se a função é contínua nesse intervalo e 1 está entre f(2) e f(5) , então existe pelo menos um número c em (2,5) tal que f(c) = 1 .

Resposta

Existe pelo menos um número c dentro do intervalo (2,5) que satisfaz f(c) = 1 .

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