Mostre que ln (x)<x, para todo x>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que ln(x) < x para todo x > 0. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente propriedades das funções e derivadas. Basicamente, vamos analisar se a diferença entre x e ln(x) é sempre positiva quando x é maior que zero.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que representa essa diferença. Vamos chamar de:
f(x) = x - ln(x)
Nosso objetivo é provar que f(x) > 0 para todo x > 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa função usando derivadas. A derivada de f(x) nos diz se a função está subindo ou descendo. Calculando a derivada:
f'(x) = ddx(x) - ddx(ln(x)) = 1 - 1x
Essa derivada nos mostra que, quando x > 1, f'(x) > 0 (função está subindo), e quando 0 < x < 1, f'(x) < 0 (função está descendo).

Passo 4

Vamos encontrar o ponto crítico onde a derivada é zero:
1 - 1x = 0 implies x = 1
Esse é o ponto mínimo da função. Agora, calculamos f(1):
f(1) = 1 - ln(1) = 1 - 0 = 1
Como f(1) = 1 > 0 e a função está aumentando para x > 1 e descendo para x < 1, isso significa que f(x) é sempre maior que zero para todo x > 0.

Resposta

Portanto, mostramos que ln(x) < x para todo x > 0.

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