Mostre que
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que
para todo
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente propriedades das funções e derivadas. Basicamente, vamos analisar se a diferença entre
e
é sempre positiva quando
é maior que zero.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que representa essa diferença. Vamos chamar de:
Nosso objetivo é provar que
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa função usando derivadas. A derivada de
nos diz se a função está subindo ou descendo. Calculando a derivada:
Essa derivada nos mostra que, quando
,
(função está subindo), e quando
,
(função está descendo).
Passo 4
Vamos encontrar o ponto crítico onde a derivada é zero:
Esse é o ponto mínimo da função. Agora, calculamos
:
Como
e a função está aumentando para
e descendo para
, isso significa que
é sempre maior que zero para todo
.
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
.