ENCONTRE AS DERIVADAS
f(x)=cos ^2(x)(e^x)^-2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo diferencial que pede para encontrar a derivada da função f(x) = cos^2(x)(e^x)^-2 . Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas, regras do quociente e do produto, além de propriedades das funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Observe que no denominador temos (e^x)^-2. Sabemos que ao elevar uma potência a um expoente negativo, o resultado é o inverso da potência com expoente positivo. Portanto:
(e^x)^-2 = e^-2x
Assim, a função original fica:
f(x) = cos^2(x)e^-2x = cos^2(x) cdot e^2x

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de f(x) , precisamos derivar o produto de duas funções: cos^2(x) e e^2x . Vamos usar a regra do produto, que diz que se temos u(x) cdot v(x) , então a derivada é:
u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Primeiro, encontramos as derivadas de cada parte:
  1. Derivada de cos^2(x) :
    • Usamos a regra da cadeia. Se u = cos(x) , então ddxu^2 = 2u cdot u' .
    • Então:
ddx cos^2(x) = 2 cos(x) cdot (-sin(x)) = -2 cos(x) sin(x)
  1. Derivada de e^2x :
    • Aqui também usamos a regra da cadeia. A derivada de e^kx é k e^kx .
    • Então:
ddx e^2x = 2 e^2x

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = (-2 cos(x) sin(x)) cdot e^2x + cos^2(x) cdot 2 e^2x
Podemos fatorar e^2x :
f'(x) = e^2x (-2 cos(x) sin(x) + 2 cos^2(x))
Além disso, podemos fatorar o 2:
f'(x) = 2 e^2x (-cos(x) sin(x) + cos^2(x))
Rearranjando os termos:
f'(x) = 2 e^2x (cos^2(x) - cos(x) sin(x))

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2 e^2x (cos^2(x) - cos(x) sin(x))

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