Dada a função f(x)=xraiz1+x^2 definida para todo x real, demostrar que a sua inversa é a função g(y)=yraiz1-y^2 definida para |y|<1.
18. Para cada uma das funções, se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio e determine a inversa.
(a) y=x^2
(c) y=1 / x^2
(b) y=x^2-2 x+1
(d) y=x^2+1

Passo 1

O enunciado reúne dois problemas de inversão de função. Primeiro, mostrar que a função
f(x)=xraiz1+x^2, xinR
é bijetora de R em (-1,1) e que sua inversa é
g(y)=yraiz1-y^2, |y|<1
Depois (exercício 18) pede, para cada função dada abaixo, restringir domínio e contradomínio de modo que seja invertível e determinar explicitamente a inversa.

Passo 2

Para achar a inversa de f, começamos resolvendo
y ;=;xraiz1+x^2
em função de y. Multiplicando ambos os lados por raiz1+x^2 e elevando ao quadrado:
y^2(1+x^2) = x^2 Longrightarrow y^2 + y^2x^2 = x^2 Longrightarrow x^2(1 - y^2) = y^2
Como queremos a inversa sobre |y|<1, o fator 1 - y^2 é positivo. Logo
x^2 = y^21 - y^2 Longrightarrow x = pm |y|raiz1 - y^2
Como f preserva o sinal de x (para x>0, f(x)>0; para x<0, f(x)<0), escolhemos o mesmo sinal de y. Assim
x = yraiz1 - y^2
é a inversa de f, definida para |y|<1.

Passo 3

Agora resolvemos o exercício 18. Cada uma dessas funções é uma parábola ou função racional simétrica, então precisamos escolher um ramo monotônico restringindo o domínio. Em seguida invertemos.

Passo 4

(a) y = x^2
Para inverter, restringimos o domínio a x>=0 (ramo crescente). Então y>=0 e
y = x^2 Longrightarrow x = raizy

Passo 5

(b) y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2
O vértice está em x=1. Tomamos o ramo x>=1, onde a função é crescente e y>=0. Então
y = (x-1)^2 Longrightarrow x-1 = raizy Longrightarrow x = 1 + raizy

Passo 6

(c) y = tfrac1x^2
Domínio original xneq0. Para invertê-la de forma simples, escolhemos x>0, onde a função é decrescente de +infty a 0. O contradomínio passa a ser y>0. Invertendo:
y = 1x^2 Longrightarrow x^2 = 1y Longrightarrow x = 1raizy

Passo 7

(d) y = x^2 + 1
Domínio original R, contradomínio y>=1. Restrigimos a x>=0 (ramo crescente). Então y>=1 e
y = x^2 + 1 Longrightarrow x^2 = y - 1 Longrightarrow x = raizy - 1

Resposta

Inversa de
f(x)=xraiz1+x^2: g(y)=yraiz1-y^2, |y|<1
(a) y=x^2 com x>=0\quad Longrightarrow\quad g(y)=raizy,;y>=0
(b) y=(x-1)^2 com x>=1\quad Longrightarrow\quad g(y)=1+raizy,;y>=0
(c) y=1/x^2 com x>0\quad Longrightarrow\quad g(y)=1/raizy,;y>0
(d) y=x^2+1 com x>=0\quad Longrightarrow\quad g(y)=raizy-1,;y>=1

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