Dada a função
definida para todo
real, demostrar que a sua inversa é a função
definida para
.
18. Para cada uma das funções, se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio e determine a inversa.
(a)
(c)
(b)
(d)
18. Para cada uma das funções, se necessário, restrinja o domínio e o contradomínio e determine a inversa.
(a)
(c)
(b)
(d)
Passo 1
O enunciado reúne dois problemas de inversão de função. Primeiro, mostrar que a função
é bijetora de
em
e que sua inversa é
Depois (exercício
) pede, para cada função dada abaixo, restringir domínio e contradomínio de modo que seja invertível e determinar explicitamente a inversa.
Passo 2
Para achar a inversa de
, começamos resolvendo
em função de
. Multiplicando ambos os lados por
e elevando ao quadrado:
Como queremos a inversa sobre
, o fator
é positivo. Logo
Como
preserva o sinal de
(para
,
; para
,
), escolhemos o mesmo sinal de
. Assim
é a inversa de
, definida para
.
Passo 3
Agora resolvemos o exercício
. Cada uma dessas funções é uma parábola ou função racional simétrica, então precisamos escolher um ramo monotônico restringindo o domínio. Em seguida invertemos.
Passo 4
(a)
Para inverter, restringimos o domínio a (ramo crescente). Então
e
Para inverter, restringimos o domínio a
Passo 5
(b)
O vértice está em . Tomamos o ramo
, onde a função é crescente e
. Então
O vértice está em
Passo 6
(c)
Domínio original . Para invertê-la de forma simples, escolhemos
, onde a função é decrescente de
a
. O contradomínio passa a ser
. Invertendo:
Domínio original
Passo 7
(d)
Domínio original , contradomínio
. Restrigimos a
(ramo crescente). Então
e
Domínio original
Resposta
Inversa de
(a)
com
\quad
\quad
(b)
com
\quad
\quad
(c)
com
\quad
\quad
(d)
com
\quad
\quad