Determine a função inversa.
y=1+\sqrt{2+3 x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = 1 + raiz2 + 3x
cujo domínio se obtém de 2 + 3x >= 0, ou seja x >= -tfrac23. O objetivo é achar f^-1, isto é, expressar x em função de y. Note que, como raizcdot>=0, a imagem (faixa de valores de y) é y>=1.

Passo 2

Isolamos o radical:
y - 1 = raiz2 + 3x

Passo 3

Elevamos ambos os lados ao quadrado:
(y - 1)^2 = 2 + 3x

Passo 4

Agora resolvemos para x:
3x = (y - 1)^2 - 2 Longrightarrow x = (y - 1)^2 - 23

Passo 5

Isso nos dá a inversa em termos de y. Trocando o papel de x e y, a função inversa é
f^-1(x) = (x - 1)^2 - 23,
com domínio x>=1 (pois a imagem de f é [1,infty)).

Resposta

f^-1(x) = (x - 1)^2 - 23, x >= 1

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