1^1) Verifique se P(0,0) é um ponto crítico da função: f(x, y)=raiz4-x^2-y^2 (3,0pt)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o ponto P(0,0) é um ponto crítico da função f(x, y) = raiz4 - x^2 - y^2 . Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e pontos críticos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y e verificar se elas são iguais a zero no ponto (0,0) .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que vamos chamar de fx . A derivada de raizu em relação a u é 12raizu , então usando a regra da cadeia:
fx = partialpartial x raiz4 - x^2 - y^2 = 12raiz4 - x^2 - y^2 cdot (-2x) = -xraiz4 - x^2 - y^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , que chamaremos de fy . De forma semelhante:
fy = partialpartial y raiz4 - x^2 - y^2 = 12raiz4 - x^2 - y^2 cdot (-2y) = -yraiz4 - x^2 - y^2

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos avaliar fx e fy no ponto (0,0) :
fx(0,0) = -0raiz4 - 0^2 - 0^2 = 0
fy(0,0) = -0raiz4 - 0^2 - 0^2 = 0

Passo 5

Como ambos as derivadas parciais fx e fy são iguais a zero no ponto (0,0) , isso significa que o gradiente de f nesse ponto é zero. Portanto, P(0,0) é realmente um ponto crítico da função f(x, y) .

Resposta

Sim, P(0,0) é um ponto crítico da função f(x, y) = raiz4 - x^2 - y^2 .

Exercícios relacionados