Dada a função de densidade conjunta abaixo, determine as densidades marginais g(x), h(y), a densidade condicional f(x mid y), e calcule P(14<X<12 rvert, Y=13).
f(x, y)= x(1+3 y^2)4, & 0<x<2,0<y<1 0, & cc

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! O que a gente tem aqui é uma função de densidade conjunta f(x, y) que nos dá a probabilidade de duas variáveis aleatórias X e Y acontecerem simultaneamente dentro de certos intervalos. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar as densidades marginais g(x) e h(y) .
  2. Determinar a densidade condicional f(x mid y) .
  3. Calcular a probabilidade P(14<X<12 mid Y=13) .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de probabilidades, como integração e propriedades de densidades marginais e condicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a densidade marginal de X , que a gente chama de g(x) . A densidade marginal de X é obtida integrando a função de densidade conjunta f(x, y) em relação a y . Isso significa que estamos “somando” todas as probabilidades para cada valor de x , independentemente de y .
Matematicamente, fica assim:
g(x) = integral0^1 f(x, y) , dy
Substituindo f(x, y) :
g(x) = integral0^1 x(1 + 3y^2)4 , dy
Vamos resolver essa integral:
g(x) = x4 integral0^1 (1 + 3y^2) , dy = x4 [ y + y^3 ]0^1 = x4 (1 + 1) = x2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a densidade marginal de Y , que chamamos de h(y) . Similarmente ao que fizemos para g(x) , integramos f(x, y) em relação a x :
h(y) = integral0^2 f(x, y) , dx
Substituindo f(x, y) :
h(y) = integral0^2 x(1 + 3y^2)4 , dx = 1 + 3y^24 integral0^2 x , dx
Resolvendo a integral:
h(y) = 1 + 3y^24 [ x^22 ]0^2 = 1 + 3y^24 ( 42 ) = 1 + 3y^24 times 2 = 1 + 3y^22

Passo 4

Agora vamos determinar a densidade condicional f(x mid y) . A densidade condicional de X dado Y = y é dada por:
f(x mid y) = f(x, y)h(y)
Já temos f(x, y) e h(y) , então substituímos:
f(x mid y) = x(1 + 3y^2)41 + 3y^22 = x(1 + 3y^2)4 times 21 + 3y^2 = x2
Então, a densidade condicional f(x mid y) = x2 para 0 < x < 2 .

Passo 5

Por último, vamos calcular a probabilidade P(14 < X < 12 mid Y = 13) . Como temos a densidade condicional f(x mid y) , podemos integrar essa função no intervalo desejado.
Primeiro, substituímos y = 13 na densidade condicional:
f(x mid Y = 13) = x2
Agora, calculamos a probabilidade:
P(14 < X < 12 mid Y = 13) = integral14^12 x2 , dx
Resolvendo a integral:
= 12 [ x^22 ]14^12 = 14 ( (12)^2 - (14)^2 ) = 14 ( 14 - 116 ) = 14 times 316 = 364

Resposta

A probabilidade P(14 < X < 12 mid Y = 13) é igual a 364 .

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