Dada a função de densidade conjunta abaixo, determine as densidades marginais , a densidade condicional , e calcule .
f(x, y)= x(1+3 y^2)4, & 0<x<2,0<y<1 0, & cc
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade juntos! O que a gente tem aqui é uma função de densidade conjunta f(x, y) que nos dá a probabilidade de duas variáveis aleatórias X e Y acontecerem simultaneamente dentro de certos intervalos. Nosso objetivo é:
Encontrar as densidades marginais g(x) e h(y) .
Determinar a densidade condicional f(x mid y) .
Calcular a probabilidade P(14<X<12 mid Y=13) .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de probabilidades, como integração e propriedades de densidades marginais e condicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a densidade marginal de X , que a gente chama de g(x) . A densidade marginal de X é obtida integrando a função de densidade conjunta f(x, y) em relação a y . Isso significa que estamos “somando” todas as probabilidades para cada valor de x , independentemente de y .
Então, a densidade condicional f(x mid y) = x2 para 0 < x < 2 .
Passo 5
Por último, vamos calcular a probabilidade P(14 < X < 12 mid Y = 13) . Como temos a densidade condicional f(x mid y) , podemos integrar essa função no intervalo desejado.
Primeiro, substituímos y = 13 na densidade condicional: