A densidade conjunta das variáveis aleatórias
a) Determine as densidades marginais e a densidade condicional .
b) Determine a probabilidade de que o espectro mude em mais da metade do total de observações, dado que a temperatura é aumentada para 0,25 unidade.

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=10,x,y^2,&0<= x<y<1,0,&cc
e pede (a) as densidades marginais de X e de Y, g(x) e h(y), e a densidade condicional f(ymid x); e (b) a probabilidade Pr(Y>0.5mid X=0.25). Vamos usar integração para marginalizar e a definição de densidade condicional.

Passo 2

A densidade marginal de X é
g(x)=integraly=x^110,x,y^2,dy
Fazendo a integral,
g(x)=10,xintegralx^1y^2dy =10,x[y^33]y=x^1 =10,x3l(1-x^3r), 0<= x<=1

Passo 3

A densidade marginal de Y é
h(y)=integralx=0^y10,x,y^2,dx
Como y é constante na integração em x,
h(y)=10,y^2integral0^yx,dx =10,y^2[x^22]0^y =5,y^4, 0<= y<=1

Passo 4

A densidade condicional de Y dado X=x é
f(ymid x) =f(x,y)g(x) =10,x,y^2tfrac10,x3(1-x^3) =3,y^21-x^3, x<y<1

Passo 5

Para X=0.25,
Pr(Y>0.5mid X=0.25) =integraly=0.5^1f(ymid 0.25),dy =integral0.5^13,y^21-(0.25)^3,dy

Passo 6

Calculando o numerador,
integral0.5^13,y^2dy =l[y^3r]0.5^1 =1-tfrac18 =tfrac78
Como 1-(0.25)^3=1-tfrac164=tfrac6364,
Pr(Y>0.5mid X=0.25) =7/863/64 =78cdot6463 =89approx0,8889

Resposta

(a) g(x)=dfrac10,x3(1-x^3),;0<= x<=1.
h(y)=5,y^4,;0<= y<=1.
f(ymid x)=dfrac3,y^21-x^3,;x<y<1.
(b) Pr(Y>0.5mid X=0.25)=tfrac89.

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