Dois refis para uma caneta esferográfica são selecionados aleatoriamente de uma caixa que contém três refis azuis, dois vermelhos e três verdes. Se
é o número de refis azuis e
é o número de refis vermelhos selecionados, determine:
a) A distribuição de probabilidade conjunta
;
b)
, onde
é a região
.
a) A distribuição de probabilidade conjunta
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre selecionar dois refis de uma caixa que tem 3 azuis, 2 vermelhos e 3 verdes, totalizando 8 refis. Queremos descobrir a distribuição de probabilidade conjunta de
(número de refis azuis) e
(número de refis vermelhos), além de calcular a probabilidade de
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de combinações e probabilidade conjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os possíveis pares
que podem ocorrer quando selecionamos dois refis. Como estamos escolhendo 2 refis, os valores possíveis para
(refis azuis) são 0, 1 ou 2, e para
(refis vermelhos) também são 0, 1 ou 2. Porém, nem todas as combinações são possíveis devido ao número total de refis selecionados.
Passo 3
Vamos listar todas as combinações possíveis de
:
-
: 0 azuis e 0 vermelhos (ambos verdes) -
: 0 azuis e 1 vermelho (e 1 verde) -
: 0 azuis e 2 vermelhos -
: 1 azul e 0 vermelhos (e 1 verde) -
: 1 azul e 1 vermelho -
: 2 azuis e 0 vermelhos
Combinações como
ou
não são possíveis porque estamos escolhendo apenas 2 refis.
Passo 4
Agora, para cada par
, vamos calcular a probabilidade usando combinações. A fórmula para probabilidade conjunta é:
Onde:
-
representa uma combinação de elementos de um total de . -
é o total de maneiras de escolher 2 refis dentre 8.
Passo 5
Vamos calcular cada probabilidade:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, organizando tudo, temos a distribuição de probabilidade conjunta
:
Resposta
A distribuição de probabilidade conjunta
é: