Dois refis para uma caneta esferográfica são selecionados aleatoriamente de uma caixa que contém três refis azuis, dois vermelhos e três verdes. Se X é o número de refis azuis e Y é o número de refis vermelhos selecionados, determine:
a) A distribuição de probabilidade conjunta f(X, Y);
b) P[(X, Y) in A], onde A é a região (X, Y) mid x+y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre selecionar dois refis de uma caixa que tem 3 azuis, 2 vermelhos e 3 verdes, totalizando 8 refis. Queremos descobrir a distribuição de probabilidade conjunta de X (número de refis azuis) e Y (número de refis vermelhos), além de calcular a probabilidade de X + Y <= 1 . Para isso, vamos precisar entender conceitos de combinações e probabilidade conjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os possíveis pares (X, Y) que podem ocorrer quando selecionamos dois refis. Como estamos escolhendo 2 refis, os valores possíveis para X (refis azuis) são 0, 1 ou 2, e para Y (refis vermelhos) também são 0, 1 ou 2. Porém, nem todas as combinações são possíveis devido ao número total de refis selecionados.

Passo 3

Vamos listar todas as combinações possíveis de (X, Y):
  • (0, 0): 0 azuis e 0 vermelhos (ambos verdes)
  • (0, 1): 0 azuis e 1 vermelho (e 1 verde)
  • (0, 2): 0 azuis e 2 vermelhos
  • (1, 0): 1 azul e 0 vermelhos (e 1 verde)
  • (1, 1): 1 azul e 1 vermelho
  • (2, 0): 2 azuis e 0 vermelhos
Combinações como (1, 2) ou (2, 1) não são possíveis porque estamos escolhendo apenas 2 refis.

Passo 4

Agora, para cada par (X, Y), vamos calcular a probabilidade usando combinações. A fórmula para probabilidade conjunta é:
f(X, Y) = binom3X times binom2Y times binom32 - X - Ybinom82
Onde:
  • binomnk representa uma combinação de k elementos de um total de n.
  • binom82 é o total de maneiras de escolher 2 refis dentre 8.

Passo 5

Vamos calcular cada probabilidade:
  1. Para (0, 0):
f(0, 0) = binom30 times binom20 times binom32binom82 = 1 times 1 times 328 = 328
  1. Para (0, 1):
f(0, 1) = binom30 times binom21 times binom31binom82 = 1 times 2 times 328 = 628
  1. Para (0, 2):
f(0, 2) = binom30 times binom22 times binom30binom82 = 1 times 1 times 128 = 128
  1. Para (1, 0):
f(1, 0) = binom31 times binom20 times binom31binom82 = 3 times 1 times 328 = 928
  1. Para (1, 1):
f(1, 1) = binom31 times binom21 times binom30binom82 = 3 times 2 times 128 = 628
  1. Para (2, 0):
f(2, 0) = binom32 times binom20 times binom30binom82 = 3 times 1 times 128 = 328

Passo 6

Agora, organizando tudo, temos a distribuição de probabilidade conjunta :

Resposta

A distribuição de probabilidade conjunta é:

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