Seja X a variável aleatória com função de densidade abaixo. Determine o valor esperado de g(X)=4 X+3.
f(x)= x^23, & -1<x<2 0, & cc

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma variável aleatória X com uma função de densidade específica. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado de uma função g(X) = 4X + 3 . Para isso, vamos usar conceitos de valor esperado e integrais, que são fundamentais em probabilidade e estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é valor esperado. O valor esperado E[g(X)] de uma função de X é basicamente uma média ponderada dos possíveis valores que g(X) pode assumir, onde os pesos são dados pela função de densidade f(x) .

Passo 3

A fórmula para calcular o valor esperado de g(X) é:
E[g(X)] = integral-infty^+infty g(x) f(x) , dx
No nosso caso, como f(x) é diferente de zero apenas no intervalo -1 < x < 2 , podemos simplificar a integral para esse intervalo.

Passo 4

Substituindo g(x) = 4x + 3 e f(x) = x^23 na fórmula, temos:
E[g(X)] = integral-1^2 (4x + 3) cdot x^23 , dx
Vamos simplificar essa expressão:
E[g(X)] = 13 integral-1^2 (4x + 3) x^2 , dx = 13 integral-1^2 (4x^3 + 3x^2) , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral-1^2 4x^3 , dx = 4 cdot [ x^44 ]-1^2 = [ x^4 ]-1^2 = (2)^4 - (-1)^4 = 16 - 1 = 15
integral-1^2 3x^2 , dx = 3 cdot [ x^33 ]-1^2 = [ x^3 ]-1^2 = (2)^3 - (-1)^3 = 8 - (-1) = 9
Somando as integrais:
15 + 9 = 24

Passo 6

Finalmente, aplicando o fator 13 :
E[g(X)] = 13 cdot 24 = 8

Resposta

O valor esperado de g(X) = 4X + 3 é 8.

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