Seja a variável aleatória com função de densidade abaixo. Determine o valor esperado de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma variável aleatória X com uma função de densidade específica. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado de uma função g(X) = 4X + 3 . Para isso, vamos usar conceitos de valor esperado e integrais, que são fundamentais em probabilidade e estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é valor esperado. O valor esperado E[g(X)] de uma função de X é basicamente uma média ponderada dos possíveis valores que g(X) pode assumir, onde os pesos são dados pela função de densidade f(x) .
Passo 3
A fórmula para calcular o valor esperado de g(X) é:
E[g(X)] = integral-infty^+infty g(x) f(x) , dx
No nosso caso, como f(x) é diferente de zero apenas no intervalo -1 < x < 2 , podemos simplificar a integral para esse intervalo.
Passo 4
Substituindo g(x) = 4x + 3 e f(x) = x^23 na fórmula, temos: