Explique se a função é diferenciável ou não no ponto dado.
f(x, y)=llx^2-y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0),(0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= dfracx^2-y^2x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para saber se f é diferenciável em (0,0).
Para isso, lembramos que uma condição necessária para diferenciabilidade é a continuidade em (0,0): se f não for contínua, não pode ser diferenciável.

Passo 2

Verificamos a continuidade calculando limites em direções diferentes.
Na reta y=0 temos
f(x,0)=x^2-0x^2+0=1,
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lim(x,y)to(0,0)atop y=0f(x,y)=1
Na reta x=0 temos
f(0,y)=0 - y^20 + y^2=-1,
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lim(x,y)to(0,0)atop x=0f(x,y)=-1
Como esses limites são diferentes e nenhum deles equivale a f(0,0)=0, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe e, em particular, f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Como a continuidade em (0,0) falha, a função não pode satisfazer a definição de diferenciabilidade (que exige existência de boa aproximação linear em torno do ponto).

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0).

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