1. Dada a função
f(x)=l 1-x, se 0<x<1 0, se 1 <= x<2
desenvolva f(x) em série de Fourier de cossenos e, também, em série de Fourier de senos.

Passo 1

O enunciado dá uma função definida em
e pede as séries de Fourier de cossenos (extensão par) e de senos (extensão ímpar) em meia-onda de comprimento .

Passo 2

Para a série de cossenos, escrevemos
f(x)sim a02+sumn=1^inftyancos!l(tfracnpi x2r),
com
a0=11integral0^2f(x),dx, an=22integral0^2f(x)cos!l(tfracnpi x2r),dx =integral0^2f(x)cos!l(tfracnpi x2r),dx

Passo 3

Como f(x)=0 em [1,2), basta integrar em [0,1]:
a0=integral0^1(1-x),dx =l[x-tfracx^22r]0^1 =tfrac12,
logo tfraca02=tfrac14.
Para an, defina alpha=tfracnpi2.
an=integral0^1(1-x)cos(alpha x),dx =1alpha^2l(1-cosalphar),
que dá, em termos de n,
an =4n^2pi^2l[1-cos!l(tfracnpi2r)r]

Passo 4

A série de cossenos fica então
f(x) =14 +sumn=1^infty 4n^2pi^2l[1-cos!l(tfracnpi2r)r] cos!l(tfracnpi x2r)

Passo 5

Para a série de senos, escrevemos
f(x)sim sumn=1^inftybnsin!l(tfracnpi x2r),
com
bn=22integral0^2f(x)sin!l(tfracnpi x2r),dx =integral0^2f(x)sin!l(tfracnpi x2r),dx
e novamente só integrando em [0,1].

Passo 6

Com alpha=tfracnpi2 obtemos
bn =integral0^1(1-x)sin(alpha x),dx =1alpha-sinalphaalpha^2,
isto é
bn =2npi -4n^2pi^2sin!l(tfracnpi2r)

Resposta

Série de cossenos (meia-onda par):
f(x) =14 +sumn=1^infty 4n^2pi^2l[1-cos!l(tfracnpi2r)r] cos!l(tfracnpi x2r)
Série de senos (meia-onda ímpar):
f(x) =sumn=1^infty l[ 2npi -4n^2pi^2sin!l(tfracnpi2r) r] sin!l(tfracnpi x2r)

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