1. Seja f: R R uma função seccionalmente contínua e periódica de período 2 L. Defina F: R R pela expressão
F(x)=integral0^x(f-a02), onde a0 L=integral-L^L f
Mostre que F é seccionalmente diferenciável e periódica de período 2 L.

Passo 1

O enunciado dá uma função fcolon RtoR seccionalmente contínua e periódica de período 2L. Define-se
F(x)=integral0^xl(f(t)-tfraca02r),dt,
onde a0L=integral-L^Lf(t),dt.
Vamos mostrar que
  1. F é seccionalmente diferenciável com F'(x)=f(x)-tfraca02, e
  2. F é periódica de período 2L.

Passo 2

Como f é seccionalmente contínua, o integrando f(t)-tfraca02 também o é. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, isso garante que F é contínua em R e que, em cada ponto onde f é contínua,
F'(x)=f(x)-tfraca02
Portanto F é seccionalmente diferenciável, com derivada dada acima.

Passo 3

Para a periodicidade, calculemos F(x+2L):
F(x+2L) =integral0^,x+2Ll(f(t)-tfraca02r),dt =integral0^2Ll(f(t)-tfraca02r),dt +integral2L^,x+2Ll(f(t)-tfraca02r),dt
No segundo termo, fazendo a mudança de variável u=t-2L e usando a periodicidade de f (período 2L), obtemos
integral2L^,x+2Ll(f(t)-tfraca02r),dt =integral0^xl(f(u)-tfraca02r),du =F(x)
O primeiro termo é
integral0^2Lf(t),dt ;-;tfraca02,(2L)
Mas integral0^2Lf(t),dt=integral-L^Lf(t),dt=a0L e tfraca02,(2L)=a0L, de modo que esse termo vale zero. Logo
F(x+2L)=0+F(x)=F(x),
ou seja, F tem período 2L.

Resposta

F é seccionalmente diferenciável com F'(x)=f(x)-tfraca02 e é periódica de período 2L.

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