- Seja
uma função seccionalmente contínua e periódica de período
. Defina
pela expressão
Mostre que
é seccionalmente diferenciável e periódica de período
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
seccionalmente contínua e periódica de período
. Define-se
onde
.
Vamos mostrar que
Vamos mostrar que
-
é seccionalmente diferenciável com , e -
é periódica de período .
Passo 2
Como
é seccionalmente contínua, o integrando
também o é. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, isso garante que
é contínua em
e que, em cada ponto onde
é contínua,
Portanto
é seccionalmente diferenciável, com derivada dada acima.
Passo 3
Para a periodicidade, calculemos
:
No segundo termo, fazendo a mudança de variável
e usando a periodicidade de
(período
), obtemos
O primeiro termo é
Mas
e
, de modo que esse termo vale zero. Logo
ou seja,
tem período
.