1. Dada a função
f(x)=l 1, se 0<x<1 0, se 1 <= x<2
desenvolva f(x) em série de Fourier de cossenos e, também, em série de Fourier de senos.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= 1, &0<x<1, 0, &1<= x<2,
definida em [0,2], e pede a série de Fourier de cossenos (extensão par) e de senos (extensão ímpar). Vamos usar as fórmulas de meia-onda num intervalo de comprimento L=2.

Passo 2

Para a expansão em cossenos temos, com L=2,
a0=2Lintegral0^L f(x),dx, an=2Lintegral0^L f(x)cos!l(npi x/Lr),dx,
e a série
f(x)sima02+sumn=1^infty ancos!l(npi x2r)
Como f(x)=1 só em 0<x<1,
a0=22integral0^2 f(x),dx =integral0^1 1,dx=1
Para n>=1,
an=22integral0^2 f(x)cos!l(npi x2r),dx =integral0^1cos!l(npi x2r),dx =2npisin!l(npi2r)

Passo 3

Logo a expansão em cossenos é
f(x)=12+sumn=1^infty2npisin!l(npi2r)cos!l(npi x2r)
Como sin(npi/2)=0 para n par e =(-1)^k-1 para n=2k-1, podemos escrever também
f(x)=12+sumk=1^infty2(2k-1)pi(-1)^,k-1, cos!l((2k-1)pi x2r)

Passo 4

Para a expansão em senos usamos
bn=2Lintegral0^L f(x)sin!l(npi x/Lr),dx (L=2),
ficando
bn=integral0^2 f(x)sin!l(npi x2r),dx =integral0^1sin!l(npi x2r),dx =-2npil[cos!l(npi x2r)r]0^1 =2npil(1-cos!tfracnpi2r)

Passo 5

Portanto a série de senos é
f(x)=sumn=1^infty bn, sin!l(npi x2r) com bn=2npil(1-cos!tfracnpi2r)

Resposta

Série de cossenos (extensão par, ):
Série de senos (extensão ímpar, ):

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