Mostre que y1 é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
x^2 y^prime+y^2+x y=3 x^2, y1=x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ,y1(x)=x é uma solução da equação de Riccati
x^2y' + y^2 + x,y = 3x^2,
e depois encontrar a solução geral.
Conteúdo: equação de Riccati e método de redução a uma equação linear usando uma solução particular.

Passo 2

Verificamos que y1(x)=x satisfaz a equação. Calculando
y1'=1,
substituindo em
x^2y' + y^2 + x,y = x^2cdot1 + x^2 + xcdot x = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2,
vemos que a igualdade vale, logo y1=x é de fato uma solução.

Passo 3

Fazemos a substituição
y = y1 + u = x + u(x)
Então
y' = 1 + u',
e a equação original torna-se
x^2(1+u') + (x+u)^2 + x(x+u) = 3x^2
Expandindo e cancelando os termos 3x^2, sobra
x^2u' + u^2 + 3x,u = 0

Passo 4

Dividindo por x^2 obtemos
u' + 3xu + 1x^2,u^2 = 0,
que é uma equação de Bernoulli de ordem 2 em u. Tomamos a mudança de variável
v = 1uLongrightarrow u = 1v, u' = -v'v^2
Substituindo em u' + tfrac3xu + tfrac1x^2u^2=0 e multiplicando por v^2, chega-se a
-v' + 3x,v + 1x^2 = 0 Long<=ftrightarrow v' - 3x,v = 1x^2

Passo 5

Resolvemos a linear em v. O fator integrante é
mu(x)=expl(-3!integraldxxr)=x^-3,
então
(x^-3v)' = x^-3cdot1x^2 = x^-5 Longrightarrow x^-3v = integral x^-5dx = -14x^-4 + C
Logo
v = -14x^-4cdot x^3 + C,x^3 = C,x^3 - 14x

Passo 6

Voltando a u=1/v e depois a y=x+u, temos
u = 1C,x^3 - tfrac14x = 4x4C,x^4 - 1,
portanto a solução geral é
y(x) = x + 4x4C,x^4 - 1,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = x + 4x4C,x^4 - 1

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