Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma solução da equação de Riccati
e depois encontrar a solução geral.
Conteúdo: equação de Riccati e método de redução a uma equação linear usando uma solução particular.
Conteúdo: equação de Riccati e método de redução a uma equação linear usando uma solução particular.
Passo 2
Verificamos que
satisfaz a equação. Calculando
substituindo em
vemos que a igualdade vale, logo
é de fato uma solução.
Passo 3
Fazemos a substituição
Então
e a equação original torna-se
Expandindo e cancelando os termos
, sobra
Passo 4
Dividindo por
obtemos
que é uma equação de Bernoulli de ordem 2 em
. Tomamos a mudança de variável
Substituindo em
e multiplicando por
, chega-se a
Passo 5
Resolvemos a linear em
. O fator integrante é
então
Logo
Passo 6
Voltando a
e depois a
, temos
portanto a solução geral é
onde
é constante arbitrária.