O número de acessos diários a um site, em milhões, após t meses, segue a função: N(t)=A * 2^t+B * 5^t onde A e B são constantes a serem determinadas. Os valores conhecidos são:
No instante t=0, o número de acessos era 6 milhões. Após 1 mês ( t=1 ), o número de acessos era 16 milhões. Após 2 meses ( t=2 ), o número de acessos era 46 milhões.
Agora, considere que o número de acessos influencia a receita mensal R(N) (em milhares de reais) do site, que é modelada por: R(N)=[ Logaritmo de (N+1) na base 2]
E a quantidade de novos usuários cadastrados no site, U®, depende da receita da seguinte forma: U®=10^(R-3) Assim, a função composta U(R(N(t))) representa o número de novos usuários cadastrados em função do tempo t.
A) Dê a expressão completa U(R(N(t)))
B) Simplifique a expressão completa usando mudança de base, mude da base 2 pra base 10.
C) Mostre a expressão pra t=2
Não precisa de calculadora, não precisa colocar valor nos logaritmos, deixem como logaritmos mesmo.
Agora, considere que o número de acessos influencia a receita mensal R(N) (em milhares de reais) do site, que é modelada por: R(N)=[ Logaritmo de (N+1) na base 2]
A) Dê a expressão completa U(R(N(t)))
B) Simplifique a expressão completa usando mudança de base, mude da base 2 pra base 10.
C) Mostre a expressão pra t=2
Não precisa de calculadora, não precisa colocar valor nos logaritmos, deixem como logaritmos mesmo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve o número de acessos diários a um site ao longo do tempo, medida em milhões. A função é
, onde
e
são constantes que precisamos descobrir. Além disso, temos outras funções que relacionam o número de acessos com a receita e com a quantidade de novos usuários. Vamos precisar usar álgebra para encontrar
e
, e depois aplicar conceitos de logaritmos e funções compostas para resolver as partes A, B e C do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos usar os dados fornecidos para encontrar as constantes
e
. Sabemos que:
- Quando
, milhões. - Quando
, milhões. - Quando
, milhões.
Vamos substituir esses valores na função
:
Para
:
Passo 3
Para
:
Passo 4
Para
:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (Equação 1 e Equação 2). Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Da Equação 1:
Substituindo na Equação 2:
Passo 6
Agora que temos
, podemos substituir de volta na Equação 1 para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a função
:
Passo 8
Vamos para a parte A do exercício:
A) Dê a expressão completa
A) Dê a expressão completa
Primeiro, temos que entender as funções compostas:
- Receita mensal:
- Novos usuários:
Para achar
, substituímos
em
:
Substituindo
:
Passo 9
Passando para a parte B:
B) Simplifique a expressão completa usando mudança de base, mude da base 2 para base 10.
B) Simplifique a expressão completa usando mudança de base, mude da base 2 para base 10.
Sabemos que:
Aplicando a mudança de base para transformar
em
:
Então:
Passo 10
Agora, para a parte C:
C) Mostre a expressão para
C) Mostre a expressão para
Vamos substituir
na expressão simplificada:
Calculando os termos dentro do logaritmo:
Portanto:
Resposta
A expressão completa para o número de novos usuários cadastrados em função do tempo
é:
Para
: