O número de acessos diários a um site, em milhões, após t meses, segue a função: N(t)=A * 2^t+B * 5^t onde A e B são constantes a serem determinadas. Os valores conhecidos são:
No instante t=0, o número de acessos era 6 milhões. Após 1 mês ( t=1 ), o número de acessos era 16 milhões. Após 2 meses ( t=2 ), o número de acessos era 46 milhões.
Agora, considere que o número de acessos influencia a receita mensal R(N) (em milhares de reais) do site, que é modelada por: R(N)=[ Logaritmo de (N+1) na base 2]
E a quantidade de novos usuários cadastrados no site, U®, depende da receita da seguinte forma: U®=10^(R-3) Assim, a função composta U(R(N(t))) representa o número de novos usuários cadastrados em função do tempo t.
A) Dê a expressão completa U(R(N(t)))
B) Simplifique a expressão completa usando mudança de base, mude da base 2 pra base 10.
C) Mostre a expressão pra t=2
Não precisa de calculadora, não precisa colocar valor nos logaritmos, deixem como logaritmos mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve o número de acessos diários a um site ao longo do tempo, medida em milhões. A função é N(t) = A cdot 2^t + B cdot 5^t , onde A e B são constantes que precisamos descobrir. Além disso, temos outras funções que relacionam o número de acessos com a receita e com a quantidade de novos usuários. Vamos precisar usar álgebra para encontrar A e B , e depois aplicar conceitos de logaritmos e funções compostas para resolver as partes A, B e C do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos usar os dados fornecidos para encontrar as constantes A e B . Sabemos que:
  • Quando t = 0 , N(0) = 6 milhões.
  • Quando t = 1 , N(1) = 16 milhões.
  • Quando t = 2 , N(2) = 46 milhões.
Vamos substituir esses valores na função N(t) :
Para t = 0 :
N(0) = A cdot 2^0 + B cdot 5^0
6 = A cdot 1 + B cdot 1
A + B = 6 (Equação 1) çã

Passo 3

Para t = 1 :
N(1) = A cdot 2^1 + B cdot 5^1
16 = A cdot 2 + B cdot 5
2A + 5B = 16 (Equação 2) çã

Passo 4

Para t = 2 :
N(2) = A cdot 2^2 + B cdot 5^2
46 = A cdot 4 + B cdot 25
4A + 25B = 46 (Equação 3) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (Equação 1 e Equação 2). Vamos resolver esse sistema para encontrar A e B .
Da Equação 1:
A = 6 - B
Substituindo na Equação 2:
2(6 - B) + 5B = 16
12 - 2B + 5B = 16
12 + 3B = 16
3B = 4
B = 43

Passo 6

Agora que temos B = 43 , podemos substituir de volta na Equação 1 para encontrar A :
A + 43 = 6
A = 6 - 43
A = 183 - 43
A = 143

Passo 7

Agora que temos A = 143 e B = 43 , podemos escrever a função N(t) :
N(t) = 143 cdot 2^t + 43 cdot 5^t

Passo 8

Vamos para a parte A do exercício:
A) Dê a expressão completa U(R(N(t)))
Primeiro, temos que entender as funções compostas:
  • Receita mensal: R(N) = log2(N + 1)
  • Novos usuários: U(R) = 10^R - 3
Para achar U(R(N(t))) , substituímos R(N(t)) em U(R) :
U(R(N(t))) = 10^log2(N(t) + 1) - 3
Substituindo N(t) :
U(R(N(t))) = 10^log2(143 cdot 2^t + 43 cdot 5^t + 1) - 3

Passo 9

Passando para a parte B:
B) Simplifique a expressão completa usando mudança de base, mude da base 2 para base 10.
Sabemos que:
logb a = logc alogc b
Aplicando a mudança de base para transformar log2 em log10 :
log2 x = log10 xlog10 2
Então:
U(R(N(t))) = 10^log10(143 cdot 2^t + 43 cdot 5^t + 1)log10 2 - 3

Passo 10

Agora, para a parte C:
C) Mostre a expressão para t = 2
Vamos substituir t = 2 na expressão simplificada:
U(R(N(2))) = 10^log10(143 cdot 2^2 + 43 cdot 5^2 + 1)log10 2 - 3
Calculando os termos dentro do logaritmo:
2^2 = 4
5^2 = 25
143 cdot 4 = 563
43 cdot 25 = 1003
563 + 1003 + 1 = 1563 + 1 = 52 + 1 = 53
Portanto:
U(R(2)) = 10^log10(53)log10 2 - 3

Resposta

A expressão completa para o número de novos usuários cadastrados em função do tempo t é:
U(R(N(t))) = 10^log10(143 cdot 2^t + 43 cdot 5^t + 1)log10 2 - 3
Para t = 2 :
U(R(2)) = 10^log10(53)log10 2 - 3

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