Encontre o volume do sólido em forma de cunha que está abaixo da superficie z=16-x^2-y^2 e acima da região R delimitada pela curva y=2 raizx, a reta y=4 x-2 c o cixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido sob a superfície
z = 16 - x^2 - y^2
e acima da região R no plano xy limitada pelas curvas y = 2raizx, y = 4x - 2 e o eixo x. O conteúdo é cálculo de integrais duplas para volume e vamos ter que:
  1. determinar geometria de R encontrando interseções;
  2. ajustar a integral dupla integral duplaR (16 - x^2 - y^2),dA;
  3. dividir R em dois sub-regiões para facilitar a integração;
  4. calcular as integrais e somar os resultados.

Passo 2

Para achar R primeiro resolvemos as interseções:
  • y=2raizx com y=0 (0,0).
  • y=4x-2 com y=0 x=tfrac12, ponto l(tfrac12,0r).
  • Igualando 2raizx=4x-2 com x>=0 obtemos raizx=2x-1, que dá x=1, y=2.
    Assim R é a região que para 0<= x<=tfrac12 fica entre y=0 e y=2raizx, e para tfrac12<= x<=1 fica entre y=4x-2 e y=2raizx.

Passo 3

Escrevendo o volume como integral dupla, temos
V=integral duplaR l(16 - x^2 - y^2r),dA =integral0^tfrac12!integral0^2raizx (16 - x^2 - y^2),dy,dx +integraltfrac12^1!integral4x-2^2raizx (16 - x^2 - y^2),dy,dx

Passo 4

Calculamos a parte de 0<= x<=tfrac12. Primeiro a primitiva em y:
integral (16 - x^2 - y^2),dy =16y - x^2 y - tfracy^33
Avaliando de y=0 a y=2raizx
32raizx-2x^2raizx-tfrac83x^3/2
Agora integramos em xin[0,tfrac12]:
integral0^tfrac12 l(32x^1/2-tfrac83x^3/2-2x^5/2r)dx =723raiz2140

Passo 5

Para tfrac12<= x<=1 fazemos a mesma primitiva e subtraímos em y=4x-2. Depois de simplificar, obtemos a antiderivada em x:
G(x) =643x^3/2-1615x^5/2-47x^7/2 +193x^4-343x^3-24x^2+883x
A parte de volume é
integraltfrac12^1!(dots),dx =G(1)-Gl(tfrac12r) =208031680-723raiz2140

Passo 6

Somando as duas contribuições, os termos em raiz2 se cancelam:
V =723raiz2140 +l(208031680-723raiz2140r) =208031680

Resposta

208031680

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