Encontre o volume do sólido em forma de cunha que está abaixo da superficie
e acima da região
delimitada pela curva
, a reta
c o cixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido sob a superfície
e acima da região
no plano
limitada pelas curvas
,
e o eixo
. O conteúdo é cálculo de integrais duplas para volume e vamos ter que:
- determinar geometria de
encontrando interseções; - ajustar a integral dupla
; - dividir
em dois sub-regiões para facilitar a integração; - calcular as integrais e somar os resultados.
Passo 2
Para achar
primeiro resolvemos as interseções:
-
com dá . -
com dá , ponto . - Igualando
com obtemos , que dá , .
Assimé a região que para fica entre e , e para fica entre e .
Passo 3
Escrevendo o volume como integral dupla, temos
Passo 4
Calculamos a parte de
. Primeiro a primitiva em
:
Avaliando de
a
dá
Agora integramos em
:
Passo 5
Para
fazemos a mesma primitiva e subtraímos em
. Depois de simplificar, obtemos a antiderivada em
:
A parte de volume é
Passo 6
Somando as duas contribuições, os termos em
se cancelam: