É dada a função y=(2 x^2-9 x-5)(x^2-2 x+2). Determine:
os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo das abscissas;

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo das abscissas. A função dada é:
y = (2x^2 - 9x - 5)(x^2 - 2x + 2)
Conteúdo que vamos usar:
  • Funções Polinomiais: São funções do tipo y = P(x) , onde P(x) é um polinômio.
  • Interseção com o Eixo das Abscissas: São os pontos onde o gráfico da função cruza o eixo x . Para encontrar isso, precisamos descobrir os valores de x que fazem y = 0 .

Passo 2

Entendendo o que é Interseção com o Eixo das Abscissas
Para encontrar onde o gráfico da função cruza o eixo x , precisamos resolver a equação:
y = 0
Então, substituímos a função na equação:
(2x^2 - 9x - 5)(x^2 - 2x + 2) = 0

Passo 3

Aplicando a Propriedade do Produto Nulo
Quando temos um produto de dois fatores que é igual a zero, pelo Princípio do Produto Nulo, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Ou seja:
2x^2 - 9x - 5 = 0 ou x^2 - 2x + 2 = 0

Passo 4

Resolvendo a Primeira Equação Quadrática: 2x^2 - 9x - 5 = 0
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 2 , b = -9 , e c = -5 .
Calculando o discriminante ( De<a ):
De<a = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 times 2 times (-5) = 81 + 40 = 121
Como De<a > 0 , temos duas soluções reais:
x = 9 pm raiz1214 = 9 pm 114
Portanto:
  1. x = 9 + 114 = 204 = 5
  2. x = 9 - 114 = -24 = -0,5

Passo 5

Resolvendo a Segunda Equação Quadrática: x^2 - 2x + 2 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara novamente, onde a = 1 , b = -2 , e c = 2 :
De<a = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 times 1 times 2 = 4 - 8 = -4
Como De<a < 0 , não há soluções reais para essa equação. Isso significa que o gráfico da função não cruza o eixo x nesse ponto.

Resposta

Os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo das abscissas são:
(5, 0) e (-0,5, 0)

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