Resolva as inequações, em R:
(5 x+4)(4 x+1)(5-4 x) >= 0

Passo 1

Vamos resolver a inequação (5x + 4)(4x + 1)5 - 4x >= 0. Nesta questão, trabalharemos com inequações racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, precisamos identificar os valores que fazem o numerador e o denominador zerarem, pois são pontos críticos que dividem a reta numérica em intervalos para testarmos o sinal da expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores que fazem o numerador zero. O numerador é (5x + 4)(4x + 1). Então, resolvemos:
  1. 5x + 4 = 0 Rightarrow 5x = -4 Rightarrow x = -45
  2. 4x + 1 = 0 Rightarrow 4x = -1 Rightarrow x = -14

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores que fazem o denominador zero. O denominador é 5 - 4x. Resolvemos:
5 - 4x = 0 Rightarrow 4x = 5 Rightarrow x = 54
Esse valor x = 54 é importante porque a expressão fica indefinida nesse ponto, e não pode fazer parte da solução.

Passo 4

Com esses valores críticos ( x = -45, x = -14 e x = 54), dividimos a reta numérica em intervalos:
  1. x < -45
  2. -45 < x < -14
  3. -14 < x < 54
  4. x > 54

Passo 5

Vamos determinar o sinal da expressão em cada intervalo. Escolhemos um número teste em cada intervalo e substituímos na expressão (5x + 4)(4x + 1)5 - 4x.
  1. Intervalo x < -45: Escolha x = -1
    • Numerador: (5*(-1) + 4)(4*(-1) + 1) = (-5 + 4)(-4 + 1) = (-1)(-3) = 3 (positivo)
    • Denominador: 5 - 4*(-1) = 5 + 4 = 9 (positivo)
    • Sinal: positivo / positivo = positivo
  2. Intervalo -45 < x < -14: Escolha x = -12
    • Numerador: (5*(-12) + 4)(4*(-12) + 1) = (-52 + 4)(-2 + 1) = (32)(-1) = -32 (negativo)
    • Denominador: 5 - 4*(-12) = 5 + 2 = 7 (positivo)
    • Sinal: negativo / positivo = negativo
  3. Intervalo -14 < x < 54: Escolha x = 0
    • Numerador: (5*0 + 4)(4*0 + 1) = (0 + 4)(0 + 1) = 4*1 = 4 (positivo)
    • Denominador: 5 - 4*0 = 5 (positivo)
    • Sinal: positivo / positivo = positivo
  4. Intervalo x > 54: Escolha x = 2
    • Numerador: (5*2 + 4)(4*2 + 1) = (10 + 4)(8 + 1) = 14*9 = 126 (positivo)
    • Denominador: 5 - 4*2 = 5 - 8 = -3 (negativo)
    • Sinal: positivo / negativo = negativo

Passo 6

Agora, identificamos onde a expressão é maior ou igual a zero:
  • Positivo nos intervalos x < -45 e -14 < x < 54.
  • Zero nos pontos onde o numerador é zero: x = -45 e x = -14.
  • Não consideramos x = 54 porque torna a expressão indefinida.

Passo 7

Portanto, a solução da inequação é:
x <= -45 ou -14 <= x < 54

Resposta

A solução da inequação é x <= -45 ou -14 <= x < 54.

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