Dada a função gamma(t)=(5 cos (t), 2 sen(t)), t in[pi4, 7 pi4]
Determine uma equação em coordenadas cartesianas da curva que contém todos os pontos de Im gamma(t), Informe o nome dessa curva.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
gamma(t) = l(5cos(t),,2sen(t)r)
para tinl[tfracpi4,tfrac7pi4r].
O conteúdo é eliminação do parâmetro para achar a equação cartesiana da curva e identificar seu nome.

Passo 2

Anotamos as componentes
x = 5cos(t), y = 2sen(t)

Passo 3

Isolamos cos(t) e sen(t):
cos(t) = x5, sen(t) = y2

Passo 4

Aplicamos a identidade trigonométrica cos^2(t)+sen^2(t)=1:
l(x5r)^2 + l(y2r)^2 = 1

Passo 5

Essa é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos a=5 e b=2.

Resposta

A equação cartesiana é
x^225 + y^24 = 1
e a curva é uma elipse.

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