Determine se a matriz abaixo é inversível e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[llll1 & 2 & 3 & 4 0 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 4]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 3 & 4 0 & 0 & 0 & 4
é inversível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1.
O conteúdo envolve matrizes triangulares e inversão por back-substitution.

Passo 2

Como A é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A)=1cdot2cdot3cdot4=24neq0
Logo, A é inversível.

Passo 3

Para encontrar A^-1=B usamos a condição
AB=ILong<=ftrightarrowsumk=i^4aik,bkj=de<aij,1<= i,j<=4
Como A é triangular superior, B também é triangular superior e vale a fórmula de back-substitution, para i<= j:
bij =1aiil(de<aij-sumk=i+1^jaik,bkjr)

Passo 4

Primeiro, as entradas da diagonal de B (caso i=j):
b11=11=1, b22=12, b33=13, b44=14

Passo 5

Agora calculamos as entradas acima da diagonal nas linhas 3 e 2:
  • Para (i,j)=(3,4): b34 =-a34,b44a33 =-4cdot143 =-13
  • Para (i,j)=(2,3): b23 =-a23,b33a22 =-3cdot132 =-12
  • Para (i,j)=(2,4): b24 =-a24,b44+a23,b34a22 =-4cdot14+3l(-13r)2 =-1-12 =0

Passo 6

Finalmente, as entradas acima da diagonal na linha 1:
  • Para (i,j)=(1,2): b12 =-a12,b22a11 =-2cdot121 =-1
  • Para (i,j)=(1,3): b13 =-a13,b33+a12,b23a11 =-l(3cdottfrac13+2cdot(-tfrac12)r) =-l(1-1r) =0
  • Para (i,j)=(1,4): b14 =-a14,b44+a13,b34+a12,b24a11 =-l(4cdottfrac14+3cdot(-tfrac13)+2cdot0r) =-l(1-1r) =0

Resposta

A matriz A é inversível e
A^-1 = 1 & -1 & 0 & 0 0 & dfrac12 & -dfrac12 & 0 0 & 0 & dfrac13 & -dfrac13 0 & 0 & 0 & dfrac14

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