Determine se a matriz abaixo é inversível e em caso afirmativo, determine sua inversa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
é inversível e, em caso afirmativo, encontrar
A^-1 .
O conteúdo envolve matrizes triangulares e inversão por back-substitution.
O conteúdo envolve matrizes triangulares e inversão por back-substitution.
Passo 2
Como
A é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Logo,
A é inversível.
Passo 3
Para encontrar
A^-1=B usamos a condição
Como
A é triangular superior,
B também é triangular superior e vale a fórmula de back-substitution, para
i<= j :
Passo 4
Primeiro, as entradas da diagonal de
B (caso
i=j ):
Passo 5
Agora calculamos as entradas acima da diagonal nas linhas 3 e 2:
- Para
:(i,j)=(3,4) b34 =-a34,b44a33 =-4cdot143 =-13 - Para
:(i,j)=(2,3) b23 =-a23,b33a22 =-3cdot132 =-12 - Para
:(i,j)=(2,4) b24 =-a24,b44+a23,b34a22 =-4cdot14+3l(-13r)2 =-1-12 =0
Passo 6
Finalmente, as entradas acima da diagonal na linha 1:
- Para
:(i,j)=(1,2) b12 =-a12,b22a11 =-2cdot121 =-1 - Para
:(i,j)=(1,3) b13 =-a13,b33+a12,b23a11 =-l(3cdottfrac13+2cdot(-tfrac12)r) =-l(1-1r) =0 - Para
:(i,j)=(1,4) b14 =-a14,b44+a13,b34+a12,b24a11 =-l(4cdottfrac14+3cdot(-tfrac13)+2cdot0r) =-l(1-1r) =0
Resposta
A matriz
A é inversível e