Determine se a matriz abaixo é inversível e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[rrrr-2 & 3 & 1 & -1 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 5 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = -2 & 3 & 1 & -1 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 5 & 1
é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^-1. Vamos usar Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada l[Amid I4r] e transformá-la em l[I4mid A^-1r]. Se conseguirmos chegar em I4 à esquerda, fica garantido que det(A)neq0 e a parte direita será a inversa.

Passo 2

Montamos
l[Amid I4r] =[cccc|cccc -2 & 3 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 4 & -3 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Para ter pivô 1 na primeira linha, trocamos R1rightarrowR3. Depois eliminamos abaixo do pivô usando R3+2R1 e R4-4R1. Isso leva a
[cccc|cccc 1 & -1 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 3 & -5 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 & 9 & 0 & 0 & -4 & 1 ]

Passo 3

Agora usamos o pivô 1 em R2 na coluna 2. Eliminamos as entradas acima e abaixo dele:
R1toR1+R2,
R3toR3-R2,
R4toR4-R2.
O resultado é
[cccc|cccc 1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -8 & 1 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & 6 & 0 & -1 & -4 & 1 ]

Passo 4

Pegamos o pivô 1 em R3 na coluna 3 e eliminamos nas outras linhas:
R1toR1-3,R3,
R2toR2-2,R3,
R4toR4+R3.
Fica
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 25 & -3 & 4 & -5 & 0 0 & 1 & 0 & 19 & -2 & 3 & -4 & 0 0 & 0 & 1 & -8 & 1 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & -2 & -2 & 1 ]

Passo 5

Por fim, o pivô em R4 é -2. Normalizamos R4to-tfrac12,R4 e eliminamos a coluna 4 em R1,R2,R3:
R1toR1-25,R4,
R2toR2-19,R4,
R3toR3+8,R4.
Isso leva a
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & tfrac192 & -21 & -30 & tfrac252 0 & 1 & 0 & 0 & tfrac152 & -16 & -23 & tfrac192 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 7 & 10 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & -tfrac12 & 1 & 1 & -tfrac12 ],
ou seja, chegamos a l[I4mid A^-1r].

Resposta

A matriz A é invertível pois det(A)=2neq0 e
A^-1 = tfrac192 & -21 & -30 & tfrac252 tfrac152 & -16 & -23 & tfrac192 -3 & 7 & 10 & -4 -tfrac12 & 1 & 1 & -tfrac12

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