Determine se a matriz abaixo é inversível e em caso afirmativo, determine sua inversa.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
é invertível e, em caso afirmativo, calcular
A^-1 . Vamos usar Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada
l[Amid I4r] e transformá-la em
l[I4mid A^-1r] . Se conseguirmos chegar em
I4 à esquerda, fica garantido que
det(A)neq0 e a parte direita será a inversa.
Passo 2
Montamos
Para ter pivô
1 na primeira linha, trocamos
R1rightarrowR3 . Depois eliminamos abaixo do pivô usando
R3+2R1 e
R4-4R1 . Isso leva a
Passo 3
Agora usamos o pivô
1 em
R2 na coluna 2. Eliminamos as entradas acima e abaixo dele:
R1toR1+R2 ,
R3toR3-R2 ,
R4toR4-R2 .
O resultado é
O resultado é
Passo 4
Pegamos o pivô
1 em
R3 na coluna 3 e eliminamos nas outras linhas:
R1toR1-3,R3 ,
R2toR2-2,R3 ,
R4toR4+R3 .
Fica
Fica
Passo 5
Por fim, o pivô em
R4 é
-2 . Normalizamos
R4to-tfrac12,R4 e eliminamos a coluna 4 em
R1,R2,R3 :
R1toR1-25,R4 ,
R2toR2-19,R4 ,
R3toR3+8,R4 .
Isso leva a
Isso leva a
ou seja, chegamos a
l[I4mid A^-1r] .
Resposta
A matriz
A é invertível pois
det(A)=2neq0 e