Dada a função g(x)=|tg(2 x)|-1, determine o gráfico indicando domínio, imagem, período, paridade e zeros da função.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=lvert tan(2x)rvert -1
e pede que a gente determine domínio, imagem, período, paridade, zeros e esboce o gráfico. Vamos usar conhecimento sobre a função tangente, suas descontinuidades, efeito do valor absoluto e deslocamento vertical.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que tan(2x) não está definida quando seu argumento é pi/2 + kpi. Assim
2x = pi2 + kpi Longrightarrow x = (2k+1)pi4, kinZ
Logo
Domínio = Rsetminus ltfrac(2k+1)pi4;|;kinZr í

Passo 3

A periodicidade de tan(2x) é
Ttan(2x) = pi2,
pois tan(2(x+T))=tan(2x+2T) repete quando 2T=pi. Como pegamos o valor absoluto e subtraímos 1, o período não se altera:
Período de g = pi2 í

Passo 4

A paridade vem de
g(-x)=lvert tan(-2x)rvert -1 = lvert -tan(2x)rvert -1 = lvert tan(2x)rvert -1 = g(x)
Portanto, g é função par.

Passo 5

Como tan(2x) varre todo R, temos lverttan(2x)rvertin[0,infty). Subtraindo 1,
Ima>=m = [-1,infty)

Passo 6

Os zeros satisfazem
lvert tan(2x)rvert -1 = 0 Long<=ftrightarrow lvert tan(2x)rvert = 1,
isto é
tan(2x)=pm1
Resolvendo:
2x = pi4+kpi Longrightarrow x = pi8+kpi2,
ou
2x = -pi4+kpi Longrightarrow x = -pi8+kpi2

Passo 7

Esboço do gráfico em um período fundamental l(-tfracpi4,tfracpi4r):
  • Há assíntotas verticais em x=pmpi/4.
  • Em x=0 o valor mínimo é g(0)=0-1=-1.
  • Conforme xtopmpi/4^mp, lverttan(2x)rvertto+infty e g(x)to+infty.
  • O gráfico é simétrico em torno de x=0 e se repete a cada pi/2.

Resposta

Domínio: Rsetminusltfrac(2k+1)pi4mid kinZr
Imagem: [-1,infty)
Período: pi2
Paridade: função par
Zeros: x=pi8+kpi2 e x=-pi8+kpi2, kinZ
Gráfico: ‘‘humps’’ simétricos entre cada par de assíntotas em x=(2k+1)pi/4, com mínimo -1 em x=kpi/2 e subida até +infty nas bordas.

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