Resolver em R :
2 sen x-cos sec x=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação
2sen x - cosl(sec xr) = 1
Aqui o conteúdo principal é a resolução de uma equação transcendental, em que aparece sen x e também cos(sec x), com sec x = 1/cos x. Para resolver precisamos combinar conhecimento de domínio (evitar cos x=0) e usar um método numérico (por exemplo bissecção) em cada ramo contínuo de f(x)=2sen x-cos(1/cos x)-1.

Passo 2

Determinamos o domínio de
f(x)=2sen x - cosl(tfrac1cos xr) -1,
que exige cos xneq0. Isso particiona R em intervalos
(-tfracpi2,;tfracpi2), (tfracpi2,;tfrac3pi2),dots
Em cada intervalo f é contínua, pois nem sen x nem cos(1/cos x) têm descontinuidade ali.

Passo 3

Procuramos um zero de f em (-tfracpi2,;tfracpi2).
  • Em x=0: f(0)=2cdot0-cos(1/1)-1=-cos1-1approx-1,5403<0
  • Em x=0,8: f(0,8)approx2sen(0,8)-cosl(1/cos(0,8)r)-1approx0,298>0
Como f(0)<0 e f(0,8)>0, há raiz em (0,0,8). Aplicando bissecção, obtemos
x1approx0,691(approx39,6^circ)

Passo 4

Agora buscamos em (tfracpi2,; tfrac3pi2).
  • Logo à direita de tfracpi2, f é positivo (ex.: em 1,7 é >0).
  • Em x=pi: f(pi)=2senpi-cos(1/cospi)-1=-cos(-1)-1=-cos1-1approx-1,5403<0
Logo existe raiz em (1,7,pi). Fazendo bissecção, achamos
x2approx2,451(approx140,4^circ)

Passo 5

Como f é 2pi-periódica (tanto sen x quanto cos(1/cos x) repetem-se a cada 2pi) e cada intervalo de comprimento pi entre assíntotas de sec x contém exatamente uma raiz, todas as soluções são obtidas somando 2pi k a x1 e x2.

Resposta

x = 0,691 + 2pi k ou x = 2,451 + 2pi k, kinZ

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