Resolver em R :
cos 2 x-2 sen^2 x<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a desigualdade
cos 2x ;-;2sin^2 x<0
O conteúdo principal aqui é aplicar identidades trigonométricas de ângulo duplo e, em seguida, resolver uma inequação do tipo costheta<a.

Passo 2

Usamos a identidade de duplicação para sin^2 x:
sin^2 x = 1-cos 2x2
Substituindo em cos 2x -2sin^2 x<0 vem
cos 2x ;-;2cdot1-cos 2x2<0 Longrightarrow cos 2x -(1-cos2x)<0

Passo 3

Simplificando o lado esquerdo:
cos 2x -1 +cos2x = 2cos2x -1
Então a desigualdade fica
2cos2x -1<0 Longrightarrow cos2x<tfrac12

Passo 4

Agora resolvemos cos theta<tfrac12 com theta=2x. Num período 2pi, costheta=tfrac12 em theta=pmpi3+2pi k. O cosseno é menor que tfrac12 quando theta está estritamente entre esses valores:
thetainl(2pi k+tfracpi3,,2pi k+tfrac5pi3r), kinZ

Passo 5

Voltando a theta=2x, divide-se por 2:
2xinl(2pi k+tfracpi3,,2pi k+tfrac5pi3r) Longrightarrow xinl(pi k+tfracpi6,,pi k+tfrac5pi6r), kinZ

Resposta

boxedxincupkinZl(pi k+tfracpi6,,pi k+tfrac5pi6r)

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