Encontrar o domínio e a imagem das seguintes funções:
Z=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado dá a função ZcolonR^2toR definida por
Z(x,y)=x^2+y^2
Precisamos determinar o domínio (todos os (x,y) em que a função está definida) e a imagem (todos os valores possíveis de Z).

Passo 2

Para o domínio, observamos que x^2 e y^2 são polinômios em x e y e estão bem definidos para qualquer número real. Logo, não há restrição sobre (x,y) e o domínio é
R^2

Passo 3

Para a imagem, note que, para todo (x,y)inR^2, temos x^2>=0 e y^2>=0, então
Z(x,y)=x^2+y^2>=0
Além disso, para qualquer valor t>=0, podemos escolher x=raizt e y=0 (ou x=-raizt, y=0) para obter Z(x,y)=t. Portanto, todos os valores não negativos são atingidos.

Resposta

Domínio: R^2
Imagem: [0,infty)

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