Dada a função
,
(a) determine um intervalo que contenha um zero desta função;
(b) determine este zero, pelo método da bissecção, até que o erro absoluto seja menor que
.
(a) determine um intervalo que contenha um zero desta função;
(b) determine este zero, pelo método da bissecção, até que o erro absoluto seja menor que
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=2^x−5x+2. Precisamos (a) encontrar um intervalo que contenha um zero de f usando o Teorema do Valor Intermediário e (b) aproximar esse zero pelo método da bissecção até que o erro absoluto seja menor que 10^{−1}.
Passo 2
Usando o Teorema do Valor Intermediário, avaliamos f em dois pontos: f(0)=2^0−5·0+2=3>0 e f(1)=2^1−5·1+2=−1<0. Como f(0)·f(1)<0, existe pelo menos uma raiz em [0,1].
Passo 3
Método da bissecção: dado um intervalo [a,b] com f(a)·f(b)<0, definimos m=(a+b)/2 e escolhemos o subintervalo [a,m] ou [m,b] que mantém a troca de sinal. A aproximação m tem erro máximo (b−a)/2. Para garantir erro absoluto <10^{−1}, precisamos de (b−a)/2<10^{−1}.
Passo 4
Realizamos iterações até satisfazer o critério:
Iteração 1 em [0,1]: m=0.5, f(0.5)≈2^{0.5}−2.5+2≈0.914>0 ⇒ novo intervalo [0.5,1]
Iteração 2 em [0.5,1]: m=0.75, f(0.75)≈2^{0.75}−3.75+2≈−0.068<0 ⇒ novo intervalo [0.5,0.75]
Iteração 3 em [0.5,0.75]: m=0.625, f(0.625)≈2^{0.625}−3.125+2≈0.417>0 ⇒ novo intervalo [0.625,0.75]
Agora o erro máximo é (0.75−0.625)/2=0.0625<10^{−1}, então podemos parar com m=(0.625+0.75)/2=0.6875 como aproximação da raiz.
Iteração 1 em [0,1]: m=0.5, f(0.5)≈2^{0.5}−2.5+2≈0.914>0 ⇒ novo intervalo [0.5,1]
Iteração 2 em [0.5,1]: m=0.75, f(0.75)≈2^{0.75}−3.75+2≈−0.068<0 ⇒ novo intervalo [0.5,0.75]
Iteração 3 em [0.5,0.75]: m=0.625, f(0.625)≈2^{0.625}−3.125+2≈0.417>0 ⇒ novo intervalo [0.625,0.75]
Agora o erro máximo é (0.75−0.625)/2=0.0625<10^{−1}, então podemos parar com m=(0.625+0.75)/2=0.6875 como aproximação da raiz.
Resposta
a) [0,1]; b) x≈0.6875