Seja p(x)=x^3-2 x-1=0.
a) Determine um intervalo que contenha a raiz positiva de p(x);
b) Use o método da Posição Falsa para calcular uma aproximação inicial para o método de Newton com precisão varepsilon <= 0.1.
c) Calcule a raiz positiva de p(x), pelo método de Newton com varepsilon <= 10^-2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz positiva da função
p(x)=x^3 -2x -1
em três etapas:
– (a) usar o Teorema do Valor Intermediário para achar um intervalo que contenha a raiz;
– (b) aplicar o método da Posição Falsa até que a diferença entre aproximações seja <=0,1, gerando uma aproximação inicial para Newton;
– (c) a partir dessa aproximação, usar o método de Newton até que a diferença entre iterações seja <=10^-2.

Passo 2

Para achar um intervalo em que p(x) mude de sinal, calculamos
p(1)=1^3 -2cdot1 -1 = -2,
p(2)=2^3 -2cdot2 -1 = 3
Como p(1)<0 e p(2)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz alpha em
1<alpha<2

Passo 3

Aplicamos o método da Posição Falsa com tolerância varepsilon=0,1.
Na primeira iteração, tomamos a=1 e b=2 e calculamos
x1 = a,p(b)-b,p(a)p(b)-p(a) = 1cdot3 -2cdot(-2)3-(-2) = 75 =1,4
Como lvert x1 - arvert = 0,4>0,1, substituímos o extremo cujo valor de p tem mesmo sinal de p(a). Aqui p(1,4)=1,4^3-2cdot1,4-1approx -1,056<0, então alinhamos a=1,4, b=2.
Na segunda iteração,
x2 = 1,4cdot3 -2cdot(-1,056)3-(-1,056) approx 6,3124,056 approx1,5566,
e lvert x2 -1,4rvertapprox0,1566>0,1. Como p(1,5566)approx -0,344<0, atualizamos a=1,5566, b=2.
Na terceira iteração,
x3 = 1,5566cdot3 -2cdot(-0,344)3-(-0,344) approx 4,6698+0,6883,344 approx1,6009approx1,601,
e lvert x3 -1,5566rvertapprox0,0444<0,1. Como a diferença já é <=0,1, paramos em
xfalsaapprox1,601

Passo 4

Agora usamos o método de Newton com ponto inicial x0=1,601 e critério lvert xn+1-xnrvert<=10^-2. A derivada é
p'(x)=3x^2-2
Iteração de Newton 1:
p(1,601)approx1,601^3-2cdot1,601-1approx-0,100,
p'(1,601)approx3cdot(1,601)^2-2approx5,689,
x1=1,601 - -0,1005,689approx1,601 +0,0176=1,6186,
e lvert x1 -x0rvertapprox0,0176>0,01.
Iteração de Newton 2:
p(1,6186)approx1,6186^3-2cdot1,6186-1approx0,0028,
p'(1,6186)approx3cdot(1,6186)^2-2approx5,8594,
x2=1,6186 - 0,00285,8594approx1,6186 -0,00048=1,6181,
e lvert x2 -x1rvertapprox0,00048<0,01.
Portanto, aproximamos a raiz positiva por
alphaapprox1,6181

Resposta

(a) 1<alpha<2
(b) Aproximação inicial pela Posição Falsa: xapprox1,601
(c) Raiz positiva pelo método de Newton: alphaapprox1,6181

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