Seja
.
a) Determine um intervalo que contenha a raiz positiva de
;
b) Use o método da Posição Falsa para calcular uma aproximação inicial para o método de Newton com precisão
.
c) Calcule a raiz positiva de
, pelo método de Newton
.
a) Determine um intervalo que contenha a raiz positiva de
b) Use o método da Posição Falsa para calcular uma aproximação inicial para o método de Newton com precisão
c) Calcule a raiz positiva de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a raiz positiva da função
em três etapas:
– (a) usar o Teorema do Valor Intermediário para achar um intervalo que contenha a raiz;
– (b) aplicar o método da Posição Falsa até que a diferença entre aproximações seja , gerando uma aproximação inicial para Newton;
– (c) a partir dessa aproximação, usar o método de Newton até que a diferença entre iterações seja .
– (a) usar o Teorema do Valor Intermediário para achar um intervalo que contenha a raiz;
– (b) aplicar o método da Posição Falsa até que a diferença entre aproximações seja
– (c) a partir dessa aproximação, usar o método de Newton até que a diferença entre iterações seja
Passo 2
Para achar um intervalo em que
mude de sinal, calculamos
Como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz
em
Passo 3
Aplicamos o método da Posição Falsa com tolerância
.
Na primeira iteração, tomamos
e
e calculamos
Como
, substituímos o extremo cujo valor de
tem mesmo sinal de
. Aqui
, então alinhamos
,
.
Na segunda iteração,
e
. Como
, atualizamos
,
.
Na terceira iteração,
e
. Como a diferença já é
, paramos em
Passo 4
Agora usamos o método de Newton com ponto inicial
e critério
. A derivada é
Iteração de Newton 1:
e
.
Iteração de Newton 2:
e
.
Portanto, aproximamos a raiz positiva por
Resposta
(a)
(b) Aproximação inicial pela Posição Falsa:
(c) Raiz positiva pelo método de Newton:
(b) Aproximação inicial pela Posição Falsa:
(c) Raiz positiva pelo método de Newton: