Para as funções abaixo, defina (se possível)
para que a mesma seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado pede para definir um valor para f(0,0) de forma que f seja contínua em (0,0). O conteúdo envolvido é limite de funções de duas variáveis e continuidade, então vamos precisar usar a definição de limite (se existir e for único) e a condição de continuidade:
.
Passo 2
Para ver se o limite existe, vamos lembrar que, para duas variáveis, o limite só existe se for igual por TUDO caminho de aproximação. Se algum caminho der resultado diferente, o limite não existe e não há como tornar f contínua.
Primeiro, analisemos os eixos coordenados. Se e
, então
Primeiro, analisemos os eixos coordenados. Se
De modo análogo, se
Ou seja, por esses caminhos o potencial limite seria 0. Agora vejamos a reta
. Para
temos
Passo 3
Quando
,
; mas quando
,
. Isso mostra limites distintos conforme o sentido de chegada.
Como ao longo de diferentes caminhos obtemos valores diferentes (por exemplo 0, 1/2 e ), o limite
NÃO existe e, portanto, NÃO é possível escolher nenhum valor para
que torne f contínua em (0,0).
Como ao longo de diferentes caminhos obtemos valores diferentes (por exemplo 0, 1/2 e
Resposta
Não existe valor de f(0,0) que torne a função contínua em (0,0).