Para as funções abaixo, defina (se possível) f(0,0) para que a mesma seja contínua em (0,0).
f(x, y)=raizx y /(x+y)

Passo 1

O enunciado pede para definir um valor para f(0,0) de forma que f seja contínua em (0,0). O conteúdo envolvido é limite de funções de duas variáveis e continuidade, então vamos precisar usar a definição de limite (se existir e for único) e a condição de continuidade: f(0,0) = lim(x,y)to(0,0) f(x,y).

Passo 2

Para ver se o limite existe, vamos lembrar que, para duas variáveis, o limite só existe se for igual por TUDO caminho de aproximação. Se algum caminho der resultado diferente, o limite não existe e não há como tornar f contínua.
Primeiro, analisemos os eixos coordenados. Se y=0 e xto0, então
f(x,0) = raizxcdot0x+0 = 0
De modo análogo, se x=0 e yto0,
f(0,y) = raiz0cdot y0+y = 0
Ou seja, por esses caminhos o potencial limite seria 0. Agora vejamos a reta y=x. Para x+xneq0 temos
f(x,x) = raizxcdot xx+x = |x|2x

Passo 3

Quando xto0^+, |x|/(2x)=1/2; mas quando xto0^-, |x|/(2x)=-1/2. Isso mostra limites distintos conforme o sentido de chegada.
Como ao longo de diferentes caminhos obtemos valores diferentes (por exemplo 0, 1/2 e -1/2), o limite lim(x,y)to(0,0) f(x,y) NÃO existe e, portanto, NÃO é possível escolher nenhum valor para f(0,0) que torne f contínua em (0,0).

Resposta

Não existe valor de f(0,0) que torne a função contínua em (0,0).

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