Resolva as inequações, em R:
(3 x+1)(2 x+5)(5 x+3)<0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação:
3x + 1(2x + 5)(5x + 3) < 0
Estamos trabalhando com inequações racionais, que envolvem frações algébricas. Para resolver, precisamos descobrir para quais valores de x a expressão é menor que zero (negativa). Vamos precisar encontrar os pontos onde o numerador ou o denominador se anulam, pois esses pontos vão dividir a reta numérica em intervalos que vamos analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde o numerador é igual a zero:
3x + 1 = 0 Rightarrow x = -13
Agora, vamos achar onde o denominador é igual a zero, já que a expressão não pode ser definida nesses pontos:
2x + 5 = 0 Rightarrow x = -52
5x + 3 = 0 Rightarrow x = -35
Então, os valores críticos são x = -52 , x = -35 e x = -13 .

Passo 3

Esses valores vão dividir a linha dos números reais em quatro intervalos:
  1. x < -52
  2. -52 < x < -35
  3. -35 < x < -13
  4. x > -13
Vamos escolher um número de cada intervalo para testar se a expressão é positiva ou negativa nesse intervalo.

Passo 4

Intervalo 1: x < -52 (por exemplo, x = -3 )
3(-3) + 1(2(-3) + 5)(5(-3) + 3) = -9 + 1(-6 + 5)(-15 + 3) = -8(-1)(-12) = -812 < 0
Intervalo 2: -52 < x < -35 (por exemplo, x = -2 )
3(-2) + 1(2(-2) + 5)(5(-2) + 3) = -6 + 1(-4 + 5)(-10 + 3) = -5(1)(-7) = -5-7 > 0
Intervalo 3: -35 < x < -13 (por exemplo, x = -0.5 )
3(-0.5) + 1(2(-0.5) + 5)(5(-0.5) + 3) = -1.5 + 1(-1 + 5)(-2.5 + 3) = -0.5(4)(0.5) = -0.52 < 0
Intervalo 4: x > -13 (por exemplo, x = 0 )
3(0) + 1(2(0) + 5)(5(0) + 3) = 1(5)(3) = 115 > 0

Resposta

A inequação 3x + 1(2x + 5)(5x + 3) < 0 é satisfeita nos intervalos:
x in ( -52, -35 ) cup ( -13, +infty )

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