Nos Exercícios de 1a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)2^n cdot n!

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 1cdot 3cdot 5cdots(2n-1)2^n,n!
e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. O conteúdo aqui é estudo de monotonicidade de sequências, e vamos usar a razão entre termos consecutivos an+1/an.

Passo 2

Escrevemos o termo seguinte explicitamente:
an+1 = 1cdot 3cdots(2n-1)cdot(2n+1)2^,n+1,(n+1)!

Passo 3

Calculamos a razão dos termos consecutivos:
an+1an = 1cdot3cdots(2n-1),(2n+1)2^n+1,(n+1)! 1cdot3cdots(2n-1)2^n,n! = 2n+12,(n+1)

Passo 4

Analisamos essa razão para n>=1:
2n+12(n+1)<1 Long<=ftrightarrow 2n+1<2n+2,
que é sempre verdadeiro. Como todos os an>0, segue que an+1<an, isto é, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência dada é estritamente decrescente.

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