Questão 1. Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
através da esfera
, com normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da esfera de raio 1 usando o Teorema da Divergência. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente ao Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema, calcular a divergência do campo
e então fazer a integração sobre o volume da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente, isso é expresso por:
Isso significa que, em vez de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos simplificar calculando a divergência e integrando-a sobre o volume.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Nosso campo vetorial é:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 6
Por fim, calculamos
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, somamos as três derivadas parciais para obter a divergência de
:
Somando os numeradores:
Simplificando:
Portanto:
Passo 8
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência para calcular o fluxo:
Como estamos lidando com a esfera de raio 1,
, então dentro do volume
, o denominador
. Isso simplifica nossa expressão de divergência:
Passo 9
Agora, integramos a divergência sobre o volume da esfera. Observamos que, devido à simetria da esfera e aos termos que envolvem produtos de diferentes variáveis (
,
,
), essas integrais serão zero, pois essas funções são ímpares e a esfera é simétrica em relação à origem.
Assim, restam apenas os termos que envolvem
,
, e
:
Sabemos que, em uma esfera com simetria, as integrais de
,
, e
são iguais. Vamos chamar cada uma delas de
. Então:
Sabemos que, para a esfera unitária,
Então:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da esfera
é
.