Questão 1. Utilize o Teorema da Divergência para calcular o fluxo do campo vetorial
F=1x^2+y^2+z^2lang<= x-2 y, z+4 y, y^2+8 x-9 zrang<=
através da esfera S: x^2+y^2+z^2=1, com normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial F através da esfera de raio 1 usando o Teorema da Divergência. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente ao Teorema da Divergência. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse teorema, calcular a divergência do campo F e então fazer a integração sobre o volume da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Matematicamente, isso é expresso por:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Isso significa que, em vez de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos simplificar calculando a divergência e integrando-a sobre o volume.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = lang<= Fx, Fy, Fz rang<= é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Nosso campo vetorial é:
F = 1x^2+y^2+z^2 lang<= x - 2y, z + 4y, y^2 + 8x - 9z rang<=
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial Fxpartial x:
Fx = x - 2yx^2 + y^2 + z^2
Usando a regra do quociente:
partial Fxpartial x = (1)(x^2 + y^2 + z^2) - (x - 2y)(2x)(x^2 + y^2 + z^2)^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2x(x - 2y)(x^2 + y^2 + z^2)^2
Simplificando:
partial Fxpartial x = x^2 + y^2 + z^2 - 2x^2 + 4xy(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -x^2 + y^2 + z^2 + 4xy(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 5

Agora, calculamos partial Fypartial y:
Fy = z + 4yx^2 + y^2 + z^2
Usando a regra do quociente:
partial Fypartial y = (4)(x^2 + y^2 + z^2) - (z + 4y)(2y)(x^2 + y^2 + z^2)^2 = 4(x^2 + y^2 + z^2) - 2y(z + 4y)(x^2 + y^2 + z^2)^2
Simplificando:
partial Fypartial y = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 2yz - 8y^2(x^2 + y^2 + z^2)^2 = 4x^2 - 4y^2 + 4z^2 - 2yz(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 6

Por fim, calculamos partial Fzpartial z:
Fz = y^2 + 8x - 9zx^2 + y^2 + z^2
Usando a regra do quociente:
partial Fzpartial z = (-9)(x^2 + y^2 + z^2) - (y^2 + 8x - 9z)(2z)(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -9(x^2 + y^2 + z^2) - 2z(y^2 + 8x - 9z)(x^2 + y^2 + z^2)^2
Simplificando:
partial Fzpartial z = -9x^2 - 9y^2 - 9z^2 - 2zy^2 - 16xz + 18z^2(x^2 + y^2 + z^2)^2 = -9x^2 - 9y^2 + 9z^2 - 2zy^2 - 16xz(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 7

Agora, somamos as três derivadas parciais para obter a divergência de F:
nabla cdot F = -x^2 + y^2 + z^2 + 4xy(x^2 + y^2 + z^2)^2 + 4x^2 - 4y^2 + 4z^2 - 2yz(x^2 + y^2 + z^2)^2 + -9x^2 - 9y^2 + 9z^2 - 2zy^2 - 16xz(x^2 + y^2 + z^2)^2
Somando os numeradores:
(-x^2 + y^2 + z^2 + 4xy) + (4x^2 - 4y^2 + 4z^2 - 2yz) + (-9x^2 - 9y^2 + 9z^2 - 2zy^2 - 16xz)
Simplificando:
(-x^2 + 4x^2 - 9x^2) + (y^2 - 4y^2 - 9y^2 - 2zy^2) + (z^2 + 4z^2 + 9z^2) + (4xy - 16xz) - 2yz
(-6x^2) + (-12y^2 - 2zy^2) + (14z^2) + (4xy - 16xz) - 2yz
Portanto:
nabla cdot F = -6x^2 - 12y^2 - 2zy^2 + 14z^2 + 4xy - 16xz - 2yz(x^2 + y^2 + z^2)^2

Passo 8

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência para calcular o fluxo:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Como estamos lidando com a esfera de raio 1, x^2 + y^2 + z^2 = 1, então dentro do volume V, o denominador (x^2 + y^2 + z^2)^2 = 1. Isso simplifica nossa expressão de divergência:
nabla cdot F = -6x^2 - 12y^2 - 2zy^2 + 14z^2 + 4xy - 16xz - 2yz

Passo 9

Agora, integramos a divergência sobre o volume da esfera. Observamos que, devido à simetria da esfera e aos termos que envolvem produtos de diferentes variáveis ( xy, xz, yz), essas integrais serão zero, pois essas funções são ímpares e a esfera é simétrica em relação à origem.
Assim, restam apenas os termos que envolvem x^2, y^2, e z^2:
integral triplaV (-6x^2 - 12y^2 + 14z^2) , dV
Sabemos que, em uma esfera com simetria, as integrais de x^2, y^2, e z^2 são iguais. Vamos chamar cada uma delas de I. Então:
-6I - 12I + 14I = (-6 -12 +14)I = (-4)I
Sabemos que, para a esfera unitária, I = 15 cdot Volume = 15 cdot 43pi = 415pi
Então:
-4I = -4 cdot 415pi = -1615pi

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da esfera S é -dfrac1615pi.

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