Seja X uma variável aleatória discreta com
& P(X=0)=0,25, & P(X=1)=0,125, & P(X=2)=0,125,
e
P(X=3)=0,5
a) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada,
b) Determine as seguintes probabilidades:
P(0 <= X<1), P(X <= 2), P(X>3), P(X>2,5)

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória discreta X com distribuição de probabilidade dada por P(X=0)=0,25, P(X=1)=0,125, P(X=2)=0,125 e P(X=3)=0,5. O objetivo é desenhar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X≤x) e calcular algumas probabilidades específicas. A função de distribuição acumulada de uma variável discreta X é definida por F(x)=P(X≤x). Aqui vamos usar essa definição para obter F(x) em cada intervalo entre os pontos de massa da distribuição.

Passo 2

Calculamos F(x) em cada região fora e entre os pontos de salto de X. Depois de somar as probabilidades até cada ponto, obtemos a função peça a peça:
F(x)= 0,&x<0, 0.25,&0<= x<1, 0.375,&1<= x<2, 0.5,&2<= x<3, 1,&x>=3
Para esboçar o gráfico de F(x), desenhe um função degrau que vale 0 até x=0, salta para 0.25 em x=0, mantém-se até x=1, salta para 0.375 em x=1, permanece até x=2, salta para 0.5 em x=2, mantém até x=3, e salta para 1 em x=3 em diante.

Passo 3

Usamos P(0≤X<1)=P(X=0), pois entre 0 e 1 (incluindo 0, excluindo 1) só há a massa em X=0. Logo:
P(0<= X<1)=0.25

Passo 4

Para P(X≤2) basta usar F(2), que já calculamos:
P(X<=2)=F(2)=0.5

Passo 5

Como não há valores de X maiores que 3, temos
P(X>3)=0

Passo 6

Para P(X>2.5) só sobra a massa em X=3, então
P(X>2.5)=P(X=3)=0.5

Resposta

A função de distribuição acumulada é:
F(x)= 0,&x<0, 0.25,&0<= x<1, 0.375,&1<= x<2, 0.5,&2<= x<3, 1,&x>=3,
As probabilidades pedidas são:
P(0<= X<1)=0.25,
P(X<=2)=0.5,
P(X>3)=0,
P(X>2.5)=0.5

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