Seja X uma variável aleatória discreta com
e
a) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada,
b) Determine as seguintes probabilidades:
b) Determine as seguintes probabilidades:
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória discreta X com distribuição de probabilidade dada por P(X=0)=0,25, P(X=1)=0,125, P(X=2)=0,125 e P(X=3)=0,5. O objetivo é desenhar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X≤x) e calcular algumas probabilidades específicas. A função de distribuição acumulada de uma variável discreta X é definida por F(x)=P(X≤x). Aqui vamos usar essa definição para obter F(x) em cada intervalo entre os pontos de massa da distribuição.
Passo 2
Calculamos F(x) em cada região fora e entre os pontos de salto de X. Depois de somar as probabilidades até cada ponto, obtemos a função peça a peça:
Para esboçar o gráfico de F(x), desenhe um função degrau que vale 0 até x=0, salta para 0.25 em x=0, mantém-se até x=1, salta para 0.375 em x=1, permanece até x=2, salta para 0.5 em x=2, mantém até x=3, e salta para 1 em x=3 em diante.
Passo 3
Usamos P(0≤X<1)=P(X=0), pois entre 0 e 1 (incluindo 0, excluindo 1) só há a massa em X=0. Logo:
Passo 4
Para P(X≤2) basta usar F(2), que já calculamos:
Passo 5
Como não há valores de X maiores que 3, temos
Passo 6
Para P(X>2.5) só sobra a massa em X=3, então
Resposta
A função de distribuição acumulada é:
As probabilidades pedidas são: