(2.0) Existem três urnas contendo bolas brancas e negras. A primeira urna possui três bolas brancas e duas bolas negras; a segunda urna possui duas bolas brancas e três bolas negras e a terceira urna possui quatro bolas brancas e uma bola negra. Uma urna é escolhida aleatoriamente e daquela urna retira-se aleatoriamente uma bola que é de cor branca. Qual a probabilidade de que essa bola tenha vindo da terceira urna?

Passo 1

O enunciado fala de três urnas com composições diferentes de bolas brancas e negras. Escolhe-se uma urna ao acaso (cada uma com probabilidade igual) e retira-se uma bola, que saiu branca. Queremos a probabilidade de que essa bola tenha vindo da terceira urna. O conteúdo envolvido é probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Vamos definir os eventos: U_i = “escolher a urna i”, para i=1,2,3; W = “retirar uma bola branca”.
Como a escolha da urna é aleatória entre três urnas,
P(U_i) = \tfrac{1}{3}\quad(i=1,2,3).
As probabilidades de tirar bola branca em cada urna são:
P(W\mid U_1)=\frac{3}{5},\quad P(W\mid U_2)=\frac{2}{5},\quad P(W\mid U_3)=\frac{4}{5}.

Passo 3

Pela Lei da Probabilidade Total, a probabilidade de retirar uma bola branca é
P(W) = \sum_{i=1}^{3}P(U_i)\,P(W\mid U_i) = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{3}{5} + \frac{2}{5} + \frac{4}{5}\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot\frac{9}{5} = \frac{3}{5}.

Passo 4

Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade de termos escolhido a urna 3 dado que saiu branca é
P(U_3\mid W) = \frac{P(U_3)\,P(W\mid U_3)}{P(W)} = \frac{\tfrac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}}{\tfrac{3}{5}} = \frac{\tfrac{4}{15}}{\tfrac{3}{5}} = \frac{4}{15}\cdot\frac{5}{3} = \frac{4}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}

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