Dada a função de distribuição
f(x)=A sin ^2(pi xL) para 0
Encontre A,lang<= xrang<=, xm, e x rms , e faça um esboço de f(x) em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função de distribuição $ f(x) $ e pede para encontrar alguns parâmetros importantes: $ A $, $ \langle x \rangle $ (a média), $ x_m $ (o valor que maximiza a função), e $ x_{rms} $ (o valor quadrático médio). Também vamos fazer um esboço de $ f(x) $ em função de $ x $.
Vamos precisar usar conceitos de função de distribuição de probabilidade, normalização, e cálculo de momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ A $. Para isso, precisamos normalizar a função de distribuição, ou seja, a integral de $ f(x) $ em todo o espaço deve ser igual a 1:
A
Como $ f(x) = 0 $ fora do intervalo $ 0 < x < L $, a integral fica:
f(x)

Passo 3

Vamos resolver essa integral. Primeiro, lembramos que:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso na nossa integral:
integral0^L A cdot 1 - cos(2pi xL)2 dx = 1
Simplificando:
A2 integral0^L (1 - cos(2pi xL)) dx = 1

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
A2 [ integral0^L 1 , dx - integral0^L cos(2pi xL) dx ] = 1
A primeira integral é fácil:
integral0^L 1 , dx = L
Para a segunda integral, temos:
integral cos(2pi xL) dx = L2pi sin(2pi xL)
Avaliada de 0 a $ L $, dá zero, porque $ \sin(2\pi) = \sin(0) = 0 $.
Então, a integral total fica:
L

Passo 5

Agora que temos $ A = \frac{2}{L} $, nossa função de distribuição fica:
A = 2L

Passo 6

Vamos encontrar $ \langle x \rangle $, a média da distribuição. A média é dada por:
lang<= x rang<=

Passo 7

Usando novamente a identidade $ \sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2
A primeira integral é:
lang<= x rang<= = 2L cdot 12 integral0^L x (1 - cos(2pi xL)) dx = 1L integral0^L x , dx - 1L integral0^L x cos(2pi xL) dx

Passo 8

A segunda integral requer integração por partes. Vamos deixar para calcular mais tarde e focar na primeira parte:
lang<= x rang<= = 1L cdot L^22 - 1L cdot (integral que será zero devido à simetria) áà
Na verdade, essa segunda integral se anula devido à simetria da função $ \cos $. Portanto:
cos

Passo 9

Agora, vamos encontrar $ x_{m} $, o valor que maximiza $ f(x) $. Para isso, derivamos $ f(x) $ em relação a $ x $ e igualamos a zero:
xm
Derivando:
f(x)
Igualando a zero:
f(x)
Isso ocorre quando $ \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) = 0 $ ou $ \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right) = 0 $.

Passo 10

Dentro do intervalo $ 0 < x < L $, $ \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) = 0 $ quando $ x = 0 $ ou $ x = L $, mas esses são os extremos. Já $ \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right) = 0 $ quando $ \frac{\pi x}{L} = \frac{\pi}{2} $, ou seja, $ x = \frac{L}{2} $.
Portanto, $ x_{m} = \frac{L}{2} $.

Passo 11

Por fim, vamos calcular $ x_{rms} $, o valor quadrático médio, que é a raiz quadrada da média dos quadrados:
xrms
Primeiro, encontramos $ \langle x^{2} \rangle $:
xrms = raizlang<= x^2 rang<=

Passo 12

Usando a identidade novamente:
lang<= x^2 rang<= = 2L cdot 12 integral0^L x^2 (1 - cos(2pi xL)) dx = 1L integral0^L x^2 , dx - 1L integral0^L x^2 cos(2pi xL) dx
A primeira integral é:
integral0^L x^2 , dx = L^33
A segunda integral, por simetria, se anula.
Então:
lang<= x^2 rang<= = 1L cdot L^33 = L^23
Portanto:
xrms = raizL^23 = Lraiz3

Resposta

A = dfrac2L lang<= x rang<= = dfracL2 xm = dfracL2 xrms = dfracLraiz3
O esboço de $ f(x) $ em função de $ x $ é uma função que começa em zero quando $ x = 0 $, atinge o valor máximo em $ x = \frac{L}{2} $, e volta a zero em $ x = L $, formando uma forma de sino simétrica.

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