Dada a função de distribuição
Encontre
, e
, e faça um esboço de
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função de distribuição $ f(x) $ e pede para encontrar alguns parâmetros importantes: $ A $, $ \langle x \rangle $ (a média), $ x_m $ (o valor que maximiza a função), e $ x_{rms} $ (o valor quadrático médio). Também vamos fazer um esboço de $ f(x) $ em função de $ x $.
Vamos precisar usar conceitos de função de distribuição de probabilidade, normalização, e cálculo de momentos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ A $. Para isso, precisamos normalizar a função de distribuição, ou seja, a integral de $ f(x) $ em todo o espaço deve ser igual a 1:
Como $ f(x) = 0 $ fora do intervalo $ 0 < x < L $, a integral fica:
Passo 3
Vamos resolver essa integral. Primeiro, lembramos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é fácil:
Para a segunda integral, temos:
Avaliada de 0 a $ L $, dá zero, porque $ \sin(2\pi) = \sin(0) = 0 $.
Então, a integral total fica:
Passo 5
Agora que temos $ A = \frac{2}{L} $, nossa função de distribuição fica:
Passo 6
Vamos encontrar $ \langle x \rangle $, a média da distribuição. A média é dada por:
Passo 7
Usando novamente a identidade $ \sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $:
A primeira integral é:
Passo 8
A segunda integral requer integração por partes. Vamos deixar para calcular mais tarde e focar na primeira parte:
Na verdade, essa segunda integral se anula devido à simetria da função $ \cos $. Portanto:
Passo 9
Agora, vamos encontrar $ x_{m} $, o valor que maximiza $ f(x) $. Para isso, derivamos $ f(x) $ em relação a $ x $ e igualamos a zero:
Derivando:
Igualando a zero:
Isso ocorre quando $ \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) = 0 $ ou $ \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right) = 0 $.
Passo 10
Dentro do intervalo $ 0 < x < L $, $ \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) = 0 $ quando $ x = 0 $ ou $ x = L $, mas esses são os extremos. Já $ \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right) = 0 $ quando $ \frac{\pi x}{L} = \frac{\pi}{2} $, ou seja, $ x = \frac{L}{2} $.
Portanto, $ x_{m} = \frac{L}{2} $.
Passo 11
Por fim, vamos calcular $ x_{rms} $, o valor quadrático médio, que é a raiz quadrada da média dos quadrados:
Primeiro, encontramos $ \langle x^{2} \rangle $:
Passo 12
Usando a identidade novamente:
A primeira integral é:
A segunda integral, por simetria, se anula.
Então:
Portanto:
Resposta
O esboço de $ f(x) $ em função de $ x $ é uma função que começa em zero quando $ x = 0 $, atinge o valor máximo em $ x = \frac{L}{2} $, e volta a zero em $ x = L $, formando uma forma de sino simétrica.