Dada a função de distribuição
f(x)=A sin ^2(2 pi xL) para 0
Encontre A,lang<= xrang<=, xm, e x rms , e faça um esboço de f(x) em função de x. Qual é a probabilidade de x ter o valor lang<= xrang<= ? [ [-]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de funções de distribuição probabilística. A questão nos dá uma função $ f(x) $ definida por:
f(x)
Precisamos encontrar a constante $ A $, o valor esperado $ \langle x \rangle $, a mediana $ x_m $, a raiz do valor quadrático médio $ x_{rms} $ e esboçar o gráfico de $ f(x) $ em função de $ x $. Além disso, queremos saber qual é a probabilidade de $ x $ ser igual a $ \langle x \rangle $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais e propriedades das funções de distribuição de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante $ A $. Sabemos que a integral de uma função de distribuição deve ser igual a 1, ou seja:
A
Como $ f(x) = 0 $ para $ x \leq 0 $ e $ x \geq L $, podemos simplificar a integral para:
integral-infty^infty f(x) , dx = 1

Passo 3

Para resolver a integral $ \int \sin^{2}(k x) , dx $, usamos a identidade trigonométrica:
integral sin^2(k x) , dx
Aplicando isso na nossa integral:
sin^2(k x) = 1 - cos(2 k x)2

Passo 4

Vamos calcular a integral:
A [ x2 - L8 pi sin(4 pi xL) ]0^L = 1
Substituindo os limites:
A [ L2 - 0 ] = 1 A cdot L2 = 1 A = 2L

Passo 5

Agora que temos $ A = \frac{2}{L} $, podemos encontrar o valor esperado $ \langle x \rangle $:
A = 2L

Passo 6

Usando a mesma identidade trigonométrica:
sin^2(2 pi xL) = 1 - cos(4 pi xL)2
Substituindo na integral:
lang<= x rang<= = 2L cdot 12 integral0^L x [ 1 - cos(4 pi xL) ] , dx = 1L [ integral0^L x , dx - integral0^L x cos(4 pi xL) , dx ]

Passo 7

Calculando as integrais separadamente:
  1. $ \int_{0}^{L} x , dx = \frac{L^{2}}{2} $
  2. Para $ \int x \cos(k x) , dx $, usamos integração por partes:
    • $ u = x $, $ dv = \cos(k x) , dx $
    • $ du = dx $, $ v = \frac{\sin(k x)}{k} $
    Aplicando:
    integral0^L x , dx = L^22
    Avaliando de 0 a $ L $:
    integral x cos(k x) , dx

Passo 8

Portanto:
lang<= x rang<= = 1L ( L^22 - 0 ) = L2

Passo 9

Agora, vamos encontrar a raiz do valor quadrático médio $ x_{rms} $:
xrms

Passo 10

Usando novamente a identidade trigonométrica:
sin^2(2 pi xL) = 1 - cos(4 pi xL)2
Substituindo na integral:
lang<= x^2 rang<= = 2L cdot 12 integral0^L x^2 [ 1 - cos(4 pi xL) ] , dx = 1L [ integral0^L x^2 , dx - integral0^L x^2 cos(4 pi xL) , dx ]

Passo 11

Calculando as integrais separadamente:
  1. $ \int_{0}^{L} x^{2} , dx = \frac{L^{3}}{3} $
  2. Para $ \int x^{2} \cos(k x) , dx $, usamos integração por partes duas vezes. O resultado final, após cálculos, será zero devido à periodicidade da função cosseno:
    integral0^L x^2 , dx = L^33

Passo 12

Portanto:
lang<= x^2 rang<= = 1L cdot L^33 = L^23 xrms = raizL^23 = Lraiz3

Passo 13

Para encontrar a mediana $ x_m $, precisamos resolver:
xm
Substituindo $ f(x) = \frac{2}{L} \sin^{2}\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) $:
integral0^xm f(x) , dx = 12

Passo 14

Usando a identidade trigonométrica novamente:
sin^2(2 pi xL) = 1 - cos(4 pi xL)2
Substituindo na equação:
2L cdot 12 integral0^xm [ 1 - cos(4 pi xL) ] , dx = 12 1L [ xm - L4 pi sin(4 pi xmL) ] = 12

Passo 15

Multiplicando ambos os lados por $ L $:
L
Isso nos leva a uma equação transcendental que geralmente é resolvida numericamente. No entanto, devido à simetria da função $ \sin^{2} $, podemos inferir que a mediana $ x_m $ é igual ao valor esperado $ \langle x \rangle $:
xm - L4 pi sin(4 pi xmL) = L2

Passo 16

Finalmente, vamos esboçar $ f(x) $ em função de $ x $. A função $ f(x) = \frac{2}{L} \sin^{2}\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) $ para $ 0 < x < L $ é uma função que varia de 0 a $ \frac{2}{L} $ e tem duas ondas completas dentro do intervalo $ 0 $ a $ L $, formando um padrão ondulatório simétrico.

Passo 17

Quanto à probabilidade de $ x $ ser exatamente igual a $ \langle x \rangle $, em uma distribuição contínua, a probabilidade de $ x $ assumir qualquer valor específico é zero. Portanto:
x

Resposta

A constante $ A $ é $ \frac{2}{L} $, o valor esperado $ \langle x \rangle $ é $ \frac{L}{2} $, a mediana $ x_m $ também é $ \frac{L}{2} $, a raiz do valor quadrático médio $ x_{rms} $ é $ \frac{L}{\sqrt{3}} $. A probabilidade de $ x $ ser exatamente igual a $ \langle x \rangle $ é zero.

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