Dada a função de distribuição
Encontre
, e
, e faça um esboço de
em função de
. Qual é a probabilidade de
ter o valor
? [ [-]
Passo 1
Vamos resolver um exercício de funções de distribuição probabilística. A questão nos dá uma função $ f(x) $ definida por:
Precisamos encontrar a constante $ A $, o valor esperado $ \langle x \rangle $, a mediana $ x_m $, a raiz do valor quadrático médio $ x_{rms} $ e esboçar o gráfico de $ f(x) $ em função de $ x $. Além disso, queremos saber qual é a probabilidade de $ x $ ser igual a $ \langle x \rangle $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais e propriedades das funções de distribuição de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a constante $ A $. Sabemos que a integral de uma função de distribuição deve ser igual a 1, ou seja:
Como $ f(x) = 0 $ para $ x \leq 0 $ e $ x \geq L $, podemos simplificar a integral para:
Passo 3
Para resolver a integral $ \int \sin^{2}(k x) , dx $, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Substituindo os limites:
Passo 5
Agora que temos $ A = \frac{2}{L} $, podemos encontrar o valor esperado $ \langle x \rangle $:
Passo 6
Usando a mesma identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 7
Calculando as integrais separadamente:
-
$ \int_{0}^{L} x , dx = \frac{L^{2}}{2} $
-
Para $ \int x \cos(k x) , dx $, usamos integração por partes:
- $ u = x $, $ dv = \cos(k x) , dx $
- $ du = dx $, $ v = \frac{\sin(k x)}{k} $
Aplicando:Avaliando de 0 a $ L $:
Passo 8
Portanto:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a raiz do valor quadrático médio $ x_{rms} $:
Passo 10
Usando novamente a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 11
Calculando as integrais separadamente:
-
$ \int_{0}^{L} x^{2} , dx = \frac{L^{3}}{3} $
-
Para $ \int x^{2} \cos(k x) , dx $, usamos integração por partes duas vezes. O resultado final, após cálculos, será zero devido à periodicidade da função cosseno:
Passo 12
Portanto:
Passo 13
Para encontrar a mediana $ x_m $, precisamos resolver:
Substituindo $ f(x) = \frac{2}{L} \sin^{2}\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) $:
Passo 14
Usando a identidade trigonométrica novamente:
Substituindo na equação:
Passo 15
Multiplicando ambos os lados por $ L $:
Isso nos leva a uma equação transcendental que geralmente é resolvida numericamente. No entanto, devido à simetria da função $ \sin^{2} $, podemos inferir que a mediana $ x_m $ é igual ao valor esperado $ \langle x \rangle $:
Passo 16
Finalmente, vamos esboçar $ f(x) $ em função de $ x $. A função $ f(x) = \frac{2}{L} \sin^{2}\left(\frac{2 \pi x}{L}\right) $ para $ 0 < x < L $ é uma função que varia de 0 a $ \frac{2}{L} $ e tem duas ondas completas dentro do intervalo $ 0 $ a $ L $, formando um padrão ondulatório simétrico.
Passo 17
Quanto à probabilidade de $ x $ ser exatamente igual a $ \langle x \rangle $, em uma distribuição contínua, a probabilidade de $ x $ assumir qualquer valor específico é zero. Portanto:
Resposta
A constante $ A $ é $ \frac{2}{L} $, o valor esperado $ \langle x \rangle $ é $ \frac{L}{2} $, a mediana $ x_m $ também é $ \frac{L}{2} $, a raiz do valor quadrático médio $ x_{rms} $ é $ \frac{L}{\sqrt{3}} $. A probabilidade de $ x $ ser exatamente igual a $ \langle x \rangle $ é zero.