Um gás consiste de N partículas pontuais em um espaço infinito. Cada partícula é atraída pela origem por uma força proporcional à distância da origem, F=-C r. Assim, além de sua energia cinética translacional, cada partícula tem uma energia potencial U=12 C r^2=12 C(x^2+y^2+ z^2 ).
(a) Qual é a função de distribuição de Maxwell-Boltzmann f(x, y, z, vx, vy, vz) ?

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás com $ N $ partículas pontuais num espaço infinito. Cada partícula sente uma força que a puxa para a origem, proporcional à distância dela da origem, dada por $ F = -C r $. Isso significa que além da energia de movimento (cinética), cada partícula também tem uma energia potencial $ U = \frac{1}{2} C r^2 = \frac{1}{2} C (x^2 + y^2 + z^2) $.
O conteúdo que vamos usar aqui é a Distribuição de Maxwell-Boltzmann, que descreve como as partículas estão distribuídas em termos de posição e velocidade em equilíbrio térmico. Para resolver, precisamos entender como a energia cinética e potencial influenciam essa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Distribuição de Maxwell-Boltzmann nos dá a probabilidade de encontrar uma partícula com certas posições e velocidades. Essa distribuição é proporcional a $ e^{-\beta E} $, onde $ \beta = \frac{1}{k T} $, $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
Aqui, a energia total $ E $ de cada partícula é a soma da energia cinética e da energia potencial:
e^-beta E
Então, a distribuição fica:
beta = 1k T

Passo 3

Agora, vamos separar as partes que dependem das posições (x, y, z) e das velocidades (vx, vy, vz). A ideia é que a posição e a velocidade são independentes na distribuição de Maxwell-Boltzmann, então podemos escrever:
f(x, y, z, vx, vy, vz) = fposição(x, y, z) cdot fvelocidade(vx, vy, vz) çã
Onde:
fposição(x, y, z) propto e^-beta 12 C (x^2 + y^2 + z^2) çã
fvelocidade(vx, vy, vz) propto e^-beta 12 m (vx^2 + vy^2 + vz^2)

Passo 4

Para que essa distribuição seja uma função de probabilidade válida, precisamos normalizá-la, ou seja, garantir que a integral de $ f $ sobre todas as posições e velocidades seja igual a 1.
Isso significa que vamos ter constantes de normalização $ N_p $ para a parte de posição e $ N_v $ para a parte de velocidade:
f

Passo 5

Vamos encontrar as constantes de normalização. A parte de posição é uma distribuição gaussiana em 3 dimensões:
Np = ( beta C2 pi )^3/2
E a parte de velocidade também é uma distribuição gaussiana em 3 dimensões:
Nv = ( beta m2 pi )^3/2

Passo 6

Substituindo as constantes de normalização de volta na expressão, temos:
f(x, y, z, vx, vy, vz) = ( beta C2 pi )^3/2 cdot e^-beta 12 C (x^2 + y^2 + z^2) cdot ( beta m2 pi )^3/2 cdot e^-beta 12 m (vx^2 + vy^2 + vz^2)

Passo 7

Podemos simplificar a expressão multiplicando as constantes:
f(x, y, z, vx, vy, vz) = ( beta^2 C m(2 pi)^2 )^3/2 cdot e^-beta 12 C (x^2 + y^2 + z^2) cdot e^-beta 12 m (vx^2 + vy^2 + vz^2)

Resposta

A função de distribuição de Maxwell-Boltzmann para o sistema dado é:
f(x, y, z, vx, vy, vz) = ( beta^2 C m(2 pi)^2 )^3/2 exp( -beta C2 (x^2 + y^2 + z^2) - beta m2 (vx^2 + vy^2 + vz^2) )

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