A velocidade angular de um volante obedece à equação
, onde t está em segundos e A e B são constantes, com valores numéricos de 2,75 (para A) e 1,50 (para B). (a) Quais são as unidades de A e B se
está em rad/s? (b) Calcule a aceleração angular do volante para (i)
e (ii)
. © Qual é o ângulo em que o volante gira durante os primeiros 2,00 s? (Dica: veja a Seção 2.6.)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos dá a velocidade angular de um volante representada por $ v_z(t) = A \cdot B \cdot t^2 $, onde $ t $ está em segundos, e as constantes $ A = 2,75 $ e $ B = 1,50 $. Nosso objetivo é responder às partes (a), (b) e © do exercício. Para isso, vamos precisar entender unidades de medida, derivadas para calcular a aceleração angular, e integrais para encontrar o ângulo girado.
Passo 2
Parte (a): Quais são as unidades de $ A $ e $ B $ se $ v_z $ está em rad/s?
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Sabemos que $ v_z $ tem unidades de rad/s. Assim, as unidades de $ A $ e $ B $ devem ser tais que, quando multiplicadas por $ t^2 $ (segundos ao quadrado), resultem em rad/s.
Vamos representar as unidades:
Como $ [t] = s $, temos:
Portanto:
Isso significa que o produto das unidades de $ A $ e $ B $ deve ser rad/s³. Sem informação adicional sobre cada constante individualmente, não podemos determinar as unidades exatas de $ A $ e $ B $ separadamente, apenas sabemos como elas se relacionam.
Passo 3
Parte (b): Calcule a aceleração angular do volante para (i) $ t = 0 $ e (ii) $ t = 5,00 , s $.
A aceleração angular $ a_z(t) $ é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
Dada a função $ v_z(t) = A \cdot B \cdot t^2 $, vamos derivar:
Agora, substituímos os valores de $ A $ e $ B $:
i) Para $ t = 0 $:
ii) Para $ t = 5,00 , s $:
Passo 4
Parte ©: Qual é o ângulo em que o volante gira durante os primeiros 2,00 s?
Para encontrar o ângulo girado $ \theta(t) $, precisamos integrar a velocidade angular em relação ao tempo:
Substituindo $ v_z(t) = 8,25 \cdot t^2 $:
Agora, calculamos para $ t = 2,00 , s $:
Resposta
(a) As unidades de $ A $ e $ B $ são tais que $ [A] \cdot [B] = rad/s^3 $.
(b)
(i) Para $ t = 0 $: $ a_z = 0 , rad/s^2 $
(ii) Para $ t = 5,00 , s $: $ a_z = 41,25 , rad/s^2 $
(i) Para $ t = 0 $: $ a_z = 0 , rad/s^2 $
(ii) Para $ t = 5,00 , s $: $ a_z = 41,25 , rad/s^2 $
© O volante gira um ângulo de $ 22 , rad $ nos primeiros 2,00 segundos.