A velocidade angular de um volante obedece à equação vz(t) = A B t^2, onde t está em segundos e A e B são constantes, com valores numéricos de 2,75 (para A) e 1,50 (para B). (a) Quais são as unidades de A e B se vz está em rad/s? (b) Calcule a aceleração angular do volante para (i) t = 0 e (ii) t = 5,00 s. © Qual é o ângulo em que o volante gira durante os primeiros 2,00 s? (Dica: veja a Seção 2.6.)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá a velocidade angular de um volante representada por $ v_z(t) = A \cdot B \cdot t^2 $, onde $ t $ está em segundos, e as constantes $ A = 2,75 $ e $ B = 1,50 $. Nosso objetivo é responder às partes (a), (b) e © do exercício. Para isso, vamos precisar entender unidades de medida, derivadas para calcular a aceleração angular, e integrais para encontrar o ângulo girado.

Passo 2

Parte (a): Quais são as unidades de $ A $ e $ B $ se $ v_z $ está em rad/s?
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
A
Sabemos que $ v_z $ tem unidades de rad/s. Assim, as unidades de $ A $ e $ B $ devem ser tais que, quando multiplicadas por $ t^2 $ (segundos ao quadrado), resultem em rad/s.
Vamos representar as unidades:
B
Como $ [t] = s $, temos:
vz
Portanto:
vz(t) = A cdot B cdot t^2
Isso significa que o produto das unidades de $ A $ e $ B $ deve ser rad/s³. Sem informação adicional sobre cada constante individualmente, não podemos determinar as unidades exatas de $ A $ e $ B $ separadamente, apenas sabemos como elas se relacionam.

Passo 3

Parte (b): Calcule a aceleração angular do volante para (i) $ t = 0 $ e (ii) $ t = 5,00 , s $.
A aceleração angular $ a_z(t) $ é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
t = 0
Dada a função $ v_z(t) = A \cdot B \cdot t^2 $, vamos derivar:
t = 5,00 , s
Agora, substituímos os valores de $ A $ e $ B $:
az(t)
i) Para $ t = 0 $:
az(t) = dvz(t)dt
ii) Para $ t = 5,00 , s $:
vz(t) = A cdot B cdot t^2

Passo 4

Parte ©: Qual é o ângulo em que o volante gira durante os primeiros 2,00 s?
Para encontrar o ângulo girado $ \theta(t) $, precisamos integrar a velocidade angular em relação ao tempo:
theta(t)
Substituindo $ v_z(t) = 8,25 \cdot t^2 $:
theta(t) = integral vz(t) , dt
Agora, calculamos para $ t = 2,00 , s $:
vz(t) = 8,25 cdot t^2

Resposta

(a) As unidades de $ A $ e $ B $ são tais que $ [A] \cdot [B] = rad/s^3 $.
(b)
(i) Para $ t = 0 $: $ a_z = 0 , rad/s^2 $
(ii) Para $ t = 5,00 , s $: $ a_z = 41,25 , rad/s^2 $
© O volante gira um ângulo de $ 22 , rad $ nos primeiros 2,00 segundos.

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