Um gás consiste de
partículas pontuais em um espaço infinito. Cada partícula é atraída pela origem por uma força proporcional à distância da origem,
. Assim, além de sua energia cinética translacional, cada partícula tem uma energia potencial
).
© Encontre os valores médios de
, e
. (Dica: O teorema da equipartição pode ser usado para encontrar os valores médios de
e
).
© Encontre os valores médios de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um gás com $ N $ partículas que são puxadas para a origem por uma força proporcional à distância. A energia potencial de cada partícula é dada por $ U = \frac{1}{2} C r^{2} = \frac{1}{2} C (x^{2} + y^{2} + z^{2}) $. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores médios de $ x $, $ x^{2} $, $ r $ e $ r^{2} $. Para isso, vamos usar o Teorema da Equipartição, que é super útil para calcular médias de variáveis em sistemas térmicos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor médio de $ x $, ou seja, $ \langle x \rangle $. Como o sistema é simétrico em relação aos eixos, não há preferência para nenhum valor específico de $ x $. Então, por simetria:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ \langle x^{2} \rangle $. A energia potencial em relação a $ x $ é $ U_x = \frac{1}{2} C x^{2} $. Segundo o Teorema da Equipartição, cada grau de liberdade quadrático contribui com $ \frac{1}{2} kT $ para a energia média, onde $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ a temperatura.
Então, temos:
Resolvendo para $ \langle x^{2} \rangle $:
Passo 4
Vamos agora para $ \langle r^{2} \rangle $. Sabemos que $ r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} $. Como todas as coordenadas são equivalentes e independentes, a média de $ r^{2} $ é:
Ou seja:
Passo 5
Por último, vamos determinar $ \langle r \rangle $, que é a média da distância das partículas à origem. Para isso, consideramos a distribuição de probabilidades das partículas em três dimensões, que segue uma distribuição gaussiana.
A probabilidade de uma partícula estar a uma distância $ r $ da origem é proporcional a $ r^{2} e^{-C r^{2}/(2kT)} $. Então, a média $ \langle r \rangle $ é dada por:
Resolvendo as integrais usando substituições e propriedades das funções gama, chegamos a:
Resposta
Os valores médios são: