Um gás consiste de N partículas pontuais em um espaço infinito. Cada partícula é atraída pela origem por uma força proporcional à distância da origem, F=-C r. Assim, além de sua energia cinética translacional, cada partícula tem uma energia potencial U=12 C r^2=12 C(x^2+y^2+ z^2 ).
© Encontre os valores médios de x, x^2, r, e r^2. (Dica: O teorema da equipartição pode ser usado para encontrar os valores médios de x^2 e r^2 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um gás com $ N $ partículas que são puxadas para a origem por uma força proporcional à distância. A energia potencial de cada partícula é dada por $ U = \frac{1}{2} C r^{2} = \frac{1}{2} C (x^{2} + y^{2} + z^{2}) $. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores médios de $ x $, $ x^{2} $, $ r $ e $ r^{2} $. Para isso, vamos usar o Teorema da Equipartição, que é super útil para calcular médias de variáveis em sistemas térmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor médio de $ x $, ou seja, $ \langle x \rangle $. Como o sistema é simétrico em relação aos eixos, não há preferência para nenhum valor específico de $ x $. Então, por simetria:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular $ \langle x^{2} \rangle $. A energia potencial em relação a $ x $ é $ U_x = \frac{1}{2} C x^{2} $. Segundo o Teorema da Equipartição, cada grau de liberdade quadrático contribui com $ \frac{1}{2} kT $ para a energia média, onde $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ a temperatura.
Então, temos:
lang<= x^2 rang<=
Resolvendo para $ \langle x^{2} \rangle $:
x

Passo 4

Vamos agora para $ \langle r^{2} \rangle $. Sabemos que $ r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} $. Como todas as coordenadas são equivalentes e independentes, a média de $ r^{2} $ é:
lang<= r^2 rang<=
Ou seja:
r^2 = x^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Por último, vamos determinar $ \langle r \rangle $, que é a média da distância das partículas à origem. Para isso, consideramos a distribuição de probabilidades das partículas em três dimensões, que segue uma distribuição gaussiana.
A probabilidade de uma partícula estar a uma distância $ r $ da origem é proporcional a $ r^{2} e^{-C r^{2}/(2kT)} $. Então, a média $ \langle r \rangle $ é dada por:
lang<= r rang<=
Resolvendo as integrais usando substituições e propriedades das funções gama, chegamos a:
r

Resposta

Os valores médios são:
lang<= x rang<= = 0,
lang<= x^2 rang<= = kTC,
lang<= r^2 rang<= = 3kTC,
lang<= r rang<= = 2raizpi raizkTC

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