Dada a função de distribuição
de uma variável aleatória
, demonstre que
é sempre uma função não decrescente.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Dada a função de distribuição
de uma variável aleatória
, mostre que
é sempre não decrescente.”
Conteúdo: teoria de probabilidade – função de distribuição e propriedade de monotonicidade de probabilidade.
O que vamos usar:
Conteúdo: teoria de probabilidade – função de distribuição e propriedade de monotonicidade de probabilidade.
O que vamos usar:
- Definição de função de distribuição:
- Propriedade básica de probabilidade: se o evento
está contido em , então .
Passo 2
Primeiro, escrevemos a definição de
:
Para mostrar que
é não decrescente, a gente pega dois pontos quaisquer
e
com
e compara
com
.
Passo 3
Agora, olhe os dois eventos:
Como
, sempre que
também vale
. Em notação de conjuntos:
E a teoria diz: se
, então
Logo,
ou seja
Passo 4
Como a escolha de
foi qualquer, concluímos que para todo par
vale
Isso significa exatamente que
é não decrescente.
Resposta
Portanto, pela inclusão de eventos e pela propriedade de monotonização da probabilidade, mostramos que