Dada a função de distribuição FX(x) de uma variável aleatória X, demonstre que FX(x) é sempre uma função não decrescente.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Dada a função de distribuição FX(x) = P(X <= x) de uma variável aleatória , mostre que é sempre não decrescente.”
Conteúdo: teoria de probabilidade – função de distribuição e propriedade de monotonicidade de probabilidade.
O que vamos usar:
  • Definição de função de distribuição:
  • Propriedade básica de probabilidade: se o evento está contido em , então .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a definição de FX(x) = Pl(X <= xr) :
x1 < x2,
Para mostrar que é não decrescente, a gente pega dois pontos quaisquer e com
e compara com .

Passo 3

Agora, olhe os dois eventos:
A = X <= x1 e B = X <= x2
Como X <= x1 ;subseteq;X <= x2 , sempre que P(A);<=;P(B) também vale P(X <= x1);<=;P(X <= x2), . Em notação de conjuntos:
FX(x1);<=;FX(x2)
E a teoria diz: se , então
Logo,
ou seja

Passo 4

Como a escolha de FX(x1);<=;FX(x2) foi qualquer, concluímos que para todo par vale
Isso significa exatamente que é não decrescente.

Resposta

Portanto, pela inclusão de eventos e pela propriedade de monotonização da probabilidade, mostramos que
boxedFX(x) é sempre uma função não decrescente éçãã

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