Dada a função f(x) encontre seus conjuntos domínio e imagem. Em seguida, fatore as funções, se possível.
f(x)=1+3 x+2 x^2,

Passo 1

Temos a função polinomial de segundo grau f(x)=1+3x+2x^2, que podemos reescrever na forma padrão f(x)=2x^2+3x+1. Vamos encontrar o domínio, a imagem (usando o vértice da parábola) e, por fim, fatorar o polinômio.

Passo 2

Como todo polinômio, f(x) está definido para quaisquer valores reais de x. Portanto, o domínio é R.

Passo 3

Para determinar a imagem, observamos que a=2>0 faz a parábola abrir para cima, então o valor mínimo ocorre no vértice. Calculamos:
Coeficientes: a=2, b=3, c=1.
Cálculo da abscissa do vértice:
xv = -b2a = -32cdot2 = -34
Cálculo do valor mínimo:
fl(-tfrac34r)=2l(-tfrac34r)^2+3l(-tfrac34r)+1 = 2cdottfrac916-tfrac94+1 = -tfrac18
Logo, a imagem é [-tfrac18, +infty).

Passo 4

Para fatorar f(x)=2x^2+3x+1, achamos as raízes pela fórmula de Bhaskara:
x = -bpmraizb^2-4ac2a = -3pmraiz9-84 = -3pm14
Isso dá x1=-tfrac12 e x2=-1. Assim,
f(x)=2(x - x1)(x - x2)=2l(x+tfrac12r)(x+1)= (2x+1)(x+1)

Resposta

Domínio: R.
Imagem: [-tfrac18, +infty).
Fatoração: f(x)=(2x+1)(x+1).

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