Seja f(x, y)=ln (x^wed>= 2+y^wed>= 2). Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção que aponta para a origem.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de \r
f(x,y)=lnl(x^2+y^2r) \r
no ponto (1,1) na direção que vai de (1,1) para a origem (0,0). \r
Conteúdo: derivada direcional via produto escalar entre gradiente de f e vetor unitário da direção.

Passo 2

Primeiro achamos o gradiente de f. Como \r
f(x,y)=lnl(x^2+y^2r), \r
temos \r
partial fpartial x=1x^2+y^2cdot 2x, partial fpartial y=1x^2+y^2cdot 2y \r
Logo \r
nabla f(x,y)=l(2xx^2+y^2,,2yx^2+y^2r)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (1,1): \r
nabla f(1,1)=l(2cdot11^2+1^2,,2cdot11^2+1^2r)=l(22,,22r)=(1,1)

Passo 4

O vetor que aponta de (1,1) para a origem é \r
v=(0,0)-(1,1)=(-1,-1) \r
Seu comprimento é \r
|v|=raiz(-1)^2+(-1)^2=raiz2, \r
então o vetor unitário da direção é \r
u=v|v|=l(-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar \r
Du f(1,1)=nabla f(1,1)cdot u=(1,1)cdotl(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)=-1raiz2-1raiz2=-raiz2

Resposta

-raiz2

Exercícios relacionados