Use a regra da cadeira para achar
:
Passo 1
O enunciado dá a função z em termos de duas variáveis intermediárias θ e φ, ambas iguais a s ², ou seja: z = sen θ cos φ com θ = s ² e φ = s ². O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais: precisamos de ∂z/∂θ, ∂z/∂φ, ∂θ/∂s, ∂φ/∂s, ∂θ/∂t e ∂φ/∂t.
Passo 2
Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de z em relação a θ e a φ. Como z = sen θ cos φ, aplicando as derivadas básicas de seno e cosseno, temos:
Passo 3
Agora calculamos ∂θ/∂s e ∂φ/∂s. Como θ = s ² e φ = s ², basta derivar em s:
Passo 4
Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para ∂z/∂s:
Passo 5
Substituindo os resultados acima:
Passo 6
Agora calculamos ∂θ/∂t e ∂φ/∂t. Derivando θ = s ² e φ = s ² em relação a t, encontramos:
Passo 7
Aplicamos de novo a regra da cadeia para ∂z/∂t:
Passo 8
e substituindo:
Passo 9
Por fim, usamos a identidade trigonométrica
e lembramos que θ+φ = 2 s t². Assim chegamos às fórmulas finais.