Use a regra da cadeira para achar partial zpartial s e partial zpartial t:
z=sen theta cos phi, theta=s t^2, phi=s t^2

Passo 1

O enunciado dá a função z em termos de duas variáveis intermediárias θ e φ, ambas iguais a s ², ou seja: z = sen θ cos φ com θ = s ² e φ = s ². O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais: precisamos de ∂z/∂θ, ∂z/∂φ, ∂θ/∂s, ∂φ/∂s, ∂θ/∂t e ∂φ/∂t.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de z em relação a θ e a φ. Como z = sen θ cos φ, aplicando as derivadas básicas de seno e cosseno, temos:
partial zpartial theta = costheta,cosphi, partial zpartial phi = -sintheta,sinphi

Passo 3

Agora calculamos ∂θ/∂s e ∂φ/∂s. Como θ = s ² e φ = s ², basta derivar em s:
partial thetapartial s = t^2, partial phipartial s = t^2

Passo 4

Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para ∂z/∂s:
partial zpartial s = partial zpartial thetapartial thetapartial s + partial zpartial phipartial phipartial s

Passo 5

Substituindo os resultados acima:
partial zpartial s = t^2l(costhetacosphi - sinthetasinphir)

Passo 6

Agora calculamos ∂θ/∂t e ∂φ/∂t. Derivando θ = s ² e φ = s ² em relação a t, encontramos:
partial thetapartial t = 2st, partial phipartial t = 2st

Passo 7

Aplicamos de novo a regra da cadeia para ∂z/∂t:
partial zpartial t = partial zpartial thetapartial thetapartial t + partial zpartial phipartial phipartial t,

Passo 8

e substituindo:
partial zpartial t = 2stl(costhetacosphi - sinthetasinphir)

Passo 9

Por fim, usamos a identidade trigonométrica costhetacosphi - sinthetasinphi = cos(theta+phi) e lembramos que θ+φ = 2 s t². Assim chegamos às fórmulas finais.

Resposta

partial zpartial s = t^2cosl(2st^2r), partial zpartial t = 2stcosl(2st^2r).

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