Dada a função f(x)=4^x, encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=4^x e o raio de convergência dessa série. Vamos usar a definição de série de Taylor em torno de 0 (Maclaurin) e depois o teste da razão para achar o raio.

Passo 2

Primeiro note que podemos escrever
4^x = e^xln 4
Como conhecemos a expansão de e^u em série de Maclaurin,
e^u = sumn=0^infty u^nn!,
basta substituir u = xln 4.

Passo 3

Fazendo a substituição u = xln 4 na série de e^u, obtemos
4^x = e^xln 4 = sumn=0^infty (xln 4)^nn! = sumn=0^infty (ln 4)^nn!;x^n

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão aos coeficientes an = (ln 4)^nn!:
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty (ln 4)^n+1/(n+1)!(ln 4)^n/n! = limntoinfty ln 4n+1 = 0
Como L=0<1 para todo x, a série converge para todo x, logo
R = infty

Resposta

A série de Maclaurin de f(x)=4^x é
sumn=0^infty (ln 4)^nn!;x^n
e o raio de convergência é R=infty.

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