Encontre uma representação em série de potências de
onde
Além disso, encontre seu raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências de
onde
O conteúdo principal é usar a série de potências de
arctan(t) , dividir por
t e depois integrar termo a termo.]
Passo 2
Começamos escrevendo a expansão de
arctan(t) em série de potências (válida para
lvert trvert<1 ):
Passo 3
Para obter
f(t)=arctan(t)t basta dividir a série acima por
t :
que de fato em
t=0 tende a
1 , conforme dado.
Passo 4
Agora integramos termo a termo de
0 até
x :
Logo,
Passo 5
O raio de convergência dessa série é o mesmo da série de
arctan(t) , ou seja
R=1 . Pode-se confirmar pelo teste da razão:
dando
R=1 .