Encontre uma representação em série de potências de integral0^x f(t) d x onde
f(x)=clarctan (x)x & x neq 0 1 & x=0 Além disso, encontre seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de
integral0^x f(t) , dt
onde
f(x) = dfracarctan(x)x, & x neq 0, [6pt] 1, & x = 0
O conteúdo principal é usar a série de potências de arctan(t), dividir por t e depois integrar termo a termo.]

Passo 2

Começamos escrevendo a expansão de arctan(t) em série de potências (válida para lvert trvert<1):
arctan(t)=sumn=0^infty(-1)^n,t^2n+12n+1

Passo 3

Para obter f(t)=arctan(t)t basta dividir a série acima por t:
arctan(t)t =sumn=0^infty(-1)^n,t^2n2n+1,
que de fato em t=0 tende a 1, conforme dado.

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 até x:
integral0^xarctan(t)t,dt =sumn=0^infty(-1)^n12n+1integral0^xt^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^n12n+1cdotx^2n+12n+1
Logo,
integral0^xf(t),dt =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)^2,x^2n+1

Passo 5

O raio de convergência dessa série é o mesmo da série de arctan(t), ou seja R=1. Pode-se confirmar pelo teste da razão:
limntoinftylvertx^2(n+1)+1/(2(n+1)+1)^2x^2n+1/(2n+1)^2rvert =|x|^2limntoinfty(2n+12n+3)^2 =|x|^2<1
dando R=1.

Resposta

integral0^xf(t),dt =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)^2,x^2n+1, R=1

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