Dada a função f(x)=raiz1+3 x, Encontre uma serie de potências de f, seu raio de convergência seu intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede para expandir
f(x)=raiz1+3x
em uma série de potências em torno de x=0, além de determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo usado será a série binomial generalized para expoente 12.

Passo 2

Lembramos da expansão binomial para qualquer real alpha:
(1+t)^alpha = sumn=0^infty binomalphan,t^n,
onde
binomalphan = alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!
Aqui alpha=tfrac12 e t=3x. Logo,
raiz1+3x=(1+3x)^12 =sumn=0^inftybinomtfrac12n(3x)^n

Passo 3

Escrevendo os primeiros termos explicitamente:
binomtfrac120=1, binomtfrac121=12, binomtfrac122=tfrac12(tfrac12-1)2!=-18,
binomtfrac123=tfrac12(tfrac12-1)(tfrac12-2)3!=1cdot(-1)cdot(-3)2^3cdot6=116, dots
Portanto
raiz1+3x =1+12,(3x)-18,(3x)^2+116,(3x)^3+cdots =1+32x-98x^2+2716x^3+cdots

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão às parcelas genéricas
an=binomtfrac12n3^n.
Calculamos
limntoinfty|an+1x^,n+1anx^n| =limntoinftyl|3xr|; l|tfracbinomtfrac12n+1binomtfrac12nr| =l|3xr|cdot1
A convergência exige lvert3xrvert<1, ou seja
|x|<13
Logo o raio é
R=13

Passo 5

Para o intervalo de convergência testamos os extremos x=pm13:
  • Em x=13 temos série de termos positivos com ordem assintótica n^-3/2, p-série com p=tfrac32>1, converge.
  • Em x=-13 a série alterna e os termos em módulo também caem como n^-3/2to0, converge absoluto (até).
    Assim o intervalo de convergência é fechado:
[-13,13]

Resposta

raiz1+3x =sumn=0^inftybinomtfrac12n(3x)^n =1+32x-98x^2+2716x^3+cdots,
Raio de convergência: R=tfrac13.
Intervalo de convergência: ;xinl[-tfrac13,tfrac13r]

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