Dada a função , Encontre uma serie de potências de , seu raio de convergência seu intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para expandir
em uma série de potências em torno de , além de determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo usado será a série binomial generalized para expoente .
Passo 2
Lembramos da expansão binomial para qualquer real :
onde
Aqui e . Logo,
Passo 3
Escrevendo os primeiros termos explicitamente:
Portanto
Passo 4
Para achar o raio de convergência , aplicamos o teste da razão às parcelas genéricas .
Calculamos
A convergência exige lvert3xrvert<1, ou seja
|x|<13
Logo o raio é
R=13
Passo 5
Para o intervalo de convergência testamos os extremos x=pm13:
Em x=13 temos série de termos positivos com ordem assintótica n^-3/2, p-série com p=tfrac32>1, converge.
Em x=-13 a série alterna e os termos em módulo também caem como n^-3/2to0, converge absoluto (até).
Assim o intervalo de convergência é fechado: