Prove que arctan x=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+12 n+1 |x|<1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para |x|<1,
arctan x = sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+12n+1
O conteúdo principal é expansão em série de potências usando a série geométrica e integração termo a termo.

Passo 2

Observamos que
ddxl(arctan xr)=11+x^2
Para |x|<1, a série geométrica padrão
11+z=sumn=0^infty(-1)^nz^n,|z|<1
vale com z=x^2. Logo,
11+x^2 =sumn=0^infty(-1)^nx^2n

Passo 3

Integramos ambos os lados de 0 a x. Como a série converge uniformemente em qualquer intervalo [-R,R] com R<1, podemos integrar termo a termo:
integral0^x11+t^2,dt =integral0^xsumn=0^infty(-1)^nt^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^xt^2n,dt
Cada integral é
integral0^xt^2n,dt=x^2n+12n+1

Passo 4

Como arctan 0=0, a integral à esquerda é arctan x. Portanto,
arctan x =sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+12n+1,
válido para |x|<1.

Resposta

arctan x=sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+12n+1, |x|<1.

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