Mostre que sen(z+pi2)=cos (z), usando as fórmulas de Euler.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para mostrar que sin(z + pi2) = cos(z) usando as fórmulas de Euler. A matéria envolvida aqui é trigonometria e números complexos, especificamente utilizando as fórmulas de Euler para relacionar funções trigonométricas com exponenciais complexas. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a fórmula de Euler e manipular expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que é uma relação fundamental na matemática que conecta funções trigonométricas com exponenciais complexas. A fórmula de Euler é dada por:
e^ix = cos(x) + isin(x)
Aqui, i é a unidade imaginária, onde i^2 = -1, e x é um número real.

Passo 3

Queremos expressar sin(z + pi2) usando a fórmula de Euler. Vamos começar aplicando a fórmula de Euler para o argumento z + pi2:
e^i(z + pi2) = cos(z + pi2) + isin(z + pi2)

Passo 4

Agora, vamos isolar a parte imaginária dessa expressão, que é sin(z + pi2). Para isso, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:
sin(z + pi2) = e^i(z + pi2) - e^-i(z + pi2)2i
Essa é uma aplicação da fórmula que relaciona o seno com exponenciais complexos.

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, note que:
e^i(z + pi2) = e^iz cdot e^ipi2 = e^iz cdot i
porque e^ipi2 = cos(pi2) + isin(pi2) = i.
De forma similar:
e^-i(z + pi2) = e^-iz cdot e^-ipi2 = e^-iz cdot (-i)
porque e^-ipi2 = cos(-pi2) + isin(-pi2) = -i.

Passo 6

Substituindo essas expressões na equação anterior:
sin(z + pi2) = (e^iz cdot i) - (e^-iz cdot (-i))2i = ie^iz + ie^-iz2i

Passo 7

Podemos fatorar o i no numerador:
sin(z + pi2) = i(e^iz + e^-iz)2i
Os i se cancelam:
sin(z + pi2) = e^iz + e^-iz2

Passo 8

Agora, observe que a expressão e^iz + e^-iz2 é exatamente a definição de cos(z) pela fórmula de Euler:
cos(z) = e^iz + e^-iz2

Resposta

Portanto, mostramos que:
sin(z + pi2) = cos(z)

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