Mostre que
, usando as fórmulas de Euler.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para mostrar que
usando as fórmulas de Euler. A matéria envolvida aqui é trigonometria e números complexos, especificamente utilizando as fórmulas de Euler para relacionar funções trigonométricas com exponenciais complexas. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a fórmula de Euler e manipular expressões trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que é uma relação fundamental na matemática que conecta funções trigonométricas com exponenciais complexas. A fórmula de Euler é dada por:
Aqui,
é a unidade imaginária, onde
, e
é um número real.
Passo 3
Queremos expressar
usando a fórmula de Euler. Vamos começar aplicando a fórmula de Euler para o argumento
:
Passo 4
Agora, vamos isolar a parte imaginária dessa expressão, que é
. Para isso, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:
Essa é uma aplicação da fórmula que relaciona o seno com exponenciais complexos.
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, note que:
porque
.
De forma similar:
porque
.
Passo 6
Substituindo essas expressões na equação anterior:
Passo 7
Podemos fatorar o
no numerador:
Os
se cancelam:
Passo 8
Agora, observe que a expressão
é exatamente a definição de
pela fórmula de Euler:
Resposta
Portanto, mostramos que: